Маша с подругой проводят лето у родственников, которые живут в разных маленьких посёлках. Большой магазин есть только в одном из них. Если поехать из посёлка Тихое в Центральное, где расположен магазин, напрямую по лесу, это будет самый короткий путь между этими населёнными пунктами, но он полностью пройдёт по лесной дороге, которая оставляет желать лучшего после дождя. Можно проехать часть пути по шоссе и только потом проехать через лес, тогда путь пройдёт из посёлка Тихое в Красное, а затем до пункта назначения. Есть и третий — можно весь путь проделать по шоссе, тогда нужно доехать до посёлка Камышино, повернуть на 90° и затем продолжить путь по другой асфальтированной дороге. Определи длину самого короткого пути от «Красное» до «Центральное». ответ дай в километрах. Размер стороны клетки на плане — 2,9 км. В поле для ответа введи число без единиц измерения, пробелов, знаков препинания.
1) Перший малюнок: оскільки ОМ = ОК, треба довести, що кут КОМ є розгорнутим. Розглянемо рівні трикутники ОАМ і ОВК, у них рівні відповідні кути ﮮКОМ = ﮮМОА. Також рівні вертикальні кути ﮮВОС = ﮮАОD, утворені при перетині відрізків АВ і СD. Розглянемо трикутники COM і DOK. У них ﮮOCA = ﮮBDO. Оскільки за умовою АМ = ВК, а AC = BD, з основної властивості довжини відрізка випливає, що AC = AM + MC = BD = BK + KD, тобто МС = KD, трикутники за двома сторонами та кутом між ними рівні, таким чином ﮮCOM = ﮮDOK. За основною властивістю величини кута маємо ﮮKOB + ﮮBOC + ﮮCOM + ﮮCOM + ﮮMOA + ﮮAOD + ﮮDOK = 360°, 2(ﮮKOB + ﮮBOC + ﮮCOM) = 360°, ﮮKOB + ﮮBOC + ﮮCOM = 180°. Відрізки ОК і ОМ мають спільний початок та утворюють розгорнутий кут, значить точки К,О,М лежать на одній прямій.
2) Другий малюнок: проведемо медіану AM. З властивості медіани відомо, що вона ділить сторону на дві рівні частини (BM=MC) Позначимо AB за 2х, тоді AB=BC=2x і BM=MC=x. Звідси: P(ABM)=AB+BM+AM=2x+x+AM=3x+AM P(ACM)=AC+CM+CM=20+x+AM Тепер можливі два варіанта розв'язку, які відрізняються вибором трикутника з меншим периметром: Перший варіант: P(ABM)-P(ACM)=6 см 3х+АМ-(20+х+АМ)=6 2x-20=6 2x=26 Як описано вище - AB=BC=2x, тоді AB=26 см і BC=26 см Другий варіант: P(ACM)-P(ABM)=6 20+x+AM-(3x+AM)=6 2x=14 AB=14 см, BC=14 см
3) Третій малюнок: нехай AB=x, BC=(x+2), AC=(x+1), BM=MC, ∠ABN=∠NBC, BN⊥AM. ΔABM - рівнобедрений, оскільки в нього збігається бісектриса і висота, проведені з вершини B, тоді ВМ=АВ=х, тоді МС=2. Отже, АВ=2 см, ВС=4 см, АС=3 см
В треугольнике АВС известны длины сторон АВ =8 и АС = 64.
Точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD перпендикулярная прямой АО , пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.
–––––––––––––––––
Продлим ВD до пересечения с окружностью в точке М.
Хорда МВ перпендикулярна радиусу ОА ( по условию) и при пересечении с ним делится пополам ( свойство).
Тогда радиус ОА делит угол ВОМ пополам. Дуги АМ и АВ, на которые опираются равные центральные углы МОА и ВОА, также равны.
Отсюда следует равенство углов АВМ и ВСА - опираются на равные дуги.
В треугольниках АВС и АВD угол ВАС общий, ∠АВD=∠ВСА ⇒
∆ АВС ~ ∆ АВD по 1-му признаку подобия. Из подобия следует отношение:
АВ:АС=АD:АВ
АВ²=АD•AC
64=AD•64⇒ AD=1
CD=64-1=63 (ед. длины)
2) Другий малюнок: проведемо медіану AM. З властивості медіани відомо, що вона ділить сторону на дві рівні частини (BM=MC) Позначимо AB за 2х, тоді AB=BC=2x і BM=MC=x. Звідси:
P(ABM)=AB+BM+AM=2x+x+AM=3x+AM
P(ACM)=AC+CM+CM=20+x+AM
Тепер можливі два варіанта розв'язку, які відрізняються вибором трикутника з меншим периметром:
Перший варіант:
P(ABM)-P(ACM)=6 см
3х+АМ-(20+х+АМ)=6
2x-20=6
2x=26
Як описано вище - AB=BC=2x, тоді AB=26 см і BC=26 см
Другий варіант:
P(ACM)-P(ABM)=6
20+x+AM-(3x+AM)=6
2x=14
AB=14 см, BC=14 см
3) Третій малюнок: нехай AB=x, BC=(x+2), AC=(x+1), BM=MC, ∠ABN=∠NBC, BN⊥AM. ΔABM - рівнобедрений, оскільки в нього збігається бісектриса і висота, проведені з вершини B, тоді ВМ=АВ=х, тоді МС=2. Отже, АВ=2 см, ВС=4 см, АС=3 см