Медіана прямокутного трикутника abc, що проведена з вершини прямого кута дорівнює 10 см, чому дорівнює гіпотенуза цього трикутника

Построим произвольный треугольник АВС, такой где АС=15 см, и проведем медианы АМ, ВК, СN.

Точкой пересечения данных медиан является точка О.

Медианы делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины (основное свойство медиан).

Построим отрезок ДЕ, удовлетворяющий условиям данной задачи (т. Е. ДЕ проходит через точку О и параллелен АС).

Так как АС||ДЕ то треугольники АВС и ЕДВ подобны (прямая параллельная стороне треугольника отсекает от него подобный треугольник).

В подобных треугольниках соответствующие стороны и линии (высоты, медианы, биссектрисы) пропорциональны. Значит

ВО/ВК=ДЕ/АС,

Но по основному свойству медиан:

ВО/ВК=2/3. Значит

ДЕ/АС=2/3

ДЕ/15=2/3

ДЕ=15*2/3

ДЕ=10 см

Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник SAB, где:
Образующие AS = BS = 14 cм ⇒ треугольник SAB является равнобедренным с углом 90° при вершине, основанием AB, равным диаметру окружности основания конуса. 
Высота (SO) конуса является высотой равнобедренного треугольника SAB, проведенной к основанию AB (а также медианой и биссектрисой) ⇒ SO делит угол при вершине треугольника SAB пополам ⇒ ∠ASO = ∠BSO = 45°

В прямоугольном треугольнике ASO:
∠ASO = 45°
∠AOS = 90°
∠SAO = 180 - 90 - 45 = 45 (°)
⇒ треугольник ASO является прямоугольным равнобедренным с основанием AS, боковыми сторонами AO = SO = r 
Радиус окружности основания конуса равен высоте конуса. 

Найдем AO через косинус угла SAO. Косинусом угла SAO является отнрошение прилежащего к нему катета AO к гипотенузе AS

                         AO
cos(SAO) = ---------------
                         AS

                      AO
cos(45°) = ---------------
                       14

  AO            1
--------- = ----------
  14            √2

AO * √2 = 14 * 1

AO = 14/√2

r = 14/√2 (см)

Площадь основания конуса равна: 

S = π * r²

S = π * (14/√2)² = π * 196/2  = 98π ≈ 308 (cм²)