V =(1/3)*Sосн *H =(1/3)*Sосн *3√3 = √3*Sосн. Пусть основания высоты пирамиды точка O: * * * SO⊥ (ABCD), O ∈ (ABCD). * * * Если все двугранные углы при ребрах основания составляют равные углы (как в данном примере α=60°) ,то высота пирамиды проходит через центр окружности вписанной в основании (здесь ромб ).
[[ Прямоугольные треугольники SEO , SFO,SMO и SNO равны по общим катетом SO и острым углам ∠SEO =∠SFO=∠SMO=∠SNO. ⇒EO =FO=MO=NO =r и SE ,SF, SM, SN равные апофемы .]] EF⊥ AD ; MN ⊥BC * * * Рассмотрим ΔESF: треугольник равносторонний ∠SEO =∠SFO=60°. SO =(a*√3)/2= (EF*√3)/2. 3√3 =(EF*√3)/2⇒ EF = 6 . Проведем BH ⊥AD.Ясно BH =EF =6.
Из ΔABH: BH =AB/2 (катет против угла ∠A =30°) ⇒AB=2BH. Sосн =AD*BH =AB*BH =2BH*BH =2BH² =2*6² =72. * * * или Sосн =AB*AD*sin∠A =AB²*sin∠A * * *
Найдите координаты точки, лежащей в плоскости xoy и равноудаленной от точек A(0;1;0), B(-1;0;1), C(0;-1;0). Решаем как частный случай Искомая точка , обозначаем через M , должна находится на плоскости перпендикулярной отрезка AC и проходящую через ее середину ( требование условия MA = MC) , но в данном случае это совпадает с плоскостью xoz ||см. A(0;1;0) и C(0;-1;0)||, т.е. ординат этой точки равно нулю Y(M) =0.Но c другой стороны M ∈(xoy) ⇒ X(M) =0 . * * * M (x ; 0 ;0) * * * MA =MB ⇔ √((x-0)² +(0 -1)²+ (0 -0)²) = √( (x+1)² +(0 -0)²+ (0 -1)²) ⇔ √(x² +1) = √( x²+2x +2) ⇒ x² +1 =x²+2x +2 ⇒ x= -0,5.
ответ: M(-0,5 ; 0; 0 ).
P.S. Общий случай три уравнения с тремя переменными M(x ; y ; z) Между прочем в этом примере точка B(-1;0;1) тоже ∈ (xoz) ⇒ BA =BC.
∠SEO =∠SFO=∠SMO=∠SNO = α =60°,SO=3√3.
E∈[AB] , F∈[BC] , M ∈[AB] ,N ∈[CD] .
V -?
V =(1/3)*Sосн *H =(1/3)*Sосн *3√3 = √3*Sосн.
Пусть основания высоты пирамиды точка O:
* * * SO⊥ (ABCD), O ∈ (ABCD). * * *
Если все двугранные углы при ребрах основания составляют равные
углы (как в данном примере α=60°) ,то высота пирамиды проходит через центр окружности вписанной в основании (здесь ромб ).
[[ Прямоугольные треугольники SEO , SFO,SMO и SNO равны по общим катетом SO и острым углам ∠SEO =∠SFO=∠SMO=∠SNO.
⇒EO =FO=MO=NO =r и SE ,SF, SM, SN равные апофемы .]]
EF⊥ AD ; MN ⊥BC
* * *
Рассмотрим ΔESF: треугольник равносторонний ∠SEO =∠SFO=60°.
SO =(a*√3)/2= (EF*√3)/2.
3√3 =(EF*√3)/2⇒ EF = 6 . Проведем BH ⊥AD.Ясно BH =EF =6.
Из ΔABH: BH =AB/2 (катет против угла ∠A =30°) ⇒AB=2BH.
Sосн =AD*BH =AB*BH =2BH*BH =2BH² =2*6² =72.
* * * или Sосн =AB*AD*sin∠A =AB²*sin∠A * * *
V =√3*Sосн =72√3.
Решаем как частный случай
Искомая точка , обозначаем через M , должна находится на плоскости перпендикулярной отрезка AC и проходящую через ее середину ( требование условия MA = MC) , но в данном случае это совпадает с плоскостью xoz ||см. A(0;1;0) и C(0;-1;0)||,
т.е. ординат этой точки равно нулю Y(M) =0.Но c другой стороны M ∈(xoy) ⇒ X(M) =0 . * * * M (x ; 0 ;0) * * *
MA =MB ⇔ √((x-0)² +(0 -1)²+ (0 -0)²) = √( (x+1)² +(0 -0)²+ (0 -1)²) ⇔
√(x² +1) = √( x²+2x +2) ⇒ x² +1 =x²+2x +2 ⇒ x= -0,5.
ответ: M(-0,5 ; 0; 0 ).
P.S.
Общий случай три уравнения с тремя переменными M(x ; y ; z)
Между прочем в этом примере точка B(-1;0;1) тоже ∈ (xoz)
⇒ BA =BC.