Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 2 см, АВ = 3 см, BD = 3 см и АС = 4 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 3 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 5 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС²+ В'С²= АВ'²= 16+9=25, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC * BD * sin 90° = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6 см².ответ: б
У задачи 2 решения. Рассмотрим рисунки приложения.
1) Пусть углы при основании АС= α, угол при вершине В=β
Тогда из суммы углов треугольника ∠АDВ =180°-2β. Тот же угол, как смежный при ∠АDС, равен 180°-α. Приравняем найденные значения угла:
180°-2β=180°-α, откуда α=2β. Тогда в ∆ АВС сумма углов 2•2β+ β=180°, откуда β=180°:5=36°. ⇒ Угол В=36°, углы при АС по 72°.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2) Если ∆ АВС с тупым углом А=β, и В=С=α, то принцип решения тот же, и углы при основании ВС будут по 36°, угол ВАС=108°.