N 19. Користуючись даними рисунка, оберіть
правильний запис.
а) А е м; б) Be m; в) Се m; г) В £ т
2 29. Відрізок, що сполучае вершину трикутника із серединого
протилежної сторони, Є...
а) бісектрисою, б) стороною; в) висотою; г) медіаното
2 3°. Один з кутів, що утворилися при перетині двох прямих,
дорівнює 149°. Знайдіть решту кутів.
а) 149, 149°. 31°. в) 31°, 1499, 31.
б) 41°. 1499 41°:
г) 219, 149°, 21°
№ 49. На рисунку точка 0 — центр кола, А, В,
C - точки кола. Знайдіть ZOBC, якщо
2400 = 30°.
а) 15°: б) 10°. в) 20°. г) 25°
№ 5°. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 42 см, а
основа 14 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.
а) 28 см;
б) 11 см;
в) 14 см;
г) 22см
B
No 6. За даним рисунком розв'яжіть задачу.
Дано: AB = AD; ВС = DC.
Довести: AABC = A ADC.
№ 7“. Один з кутів трикутника на 60° більший за другий і на 30°
менший від третього. Знайдіть кути трикутника.
D
№ 8". Кут між бісектрисою та висотою прямокутного трикутника,
які проведені з вершини прямого кута, дорівнює 14°.
Знайдіть кути трикутника.
В условии явно не отобразилось √2 при значении диагонали. .
Правильное условие задачи:
Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4√2 см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см.
Решение. (см. рисунок 1)
Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника с острым углом 45°. Поэтому сторона квадрата равна АВ=4√2•sin 45°=4 (cм).
Искомый угол - угол между высотой МН правильного треугольника АМН и отрезком КН, проведенными перпендикулярно к середине АВ.
МН= АВ•sin60°=4•√3/2=2√3
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
По т. о трёх перпендикулярах МК ⊥ - ⇒ это расстояние от М до CD, равное 5 см. По т.косинусов
cos∠MHK=(KM²-KN²+MH²):(-2•KH•MH)
cos∠MHK=(25- 16-12):(-2•4•2√3)=√3/16
* * *
Решение по данному в вопросе условию:
Если диагональ квадрата равна 4 см, то, т.к. она делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренный с острым углом 45°, его сторона равна 4•sin45°=2√2.
Искомый угол - угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к одной точке на стороне АВ. (на линии их пересечения), т.е. это угол между высотой МК треугольника АМВ и отрезком КН, проведенным через середины сторон АВ и СD квадрата, т.к. МК⊥АВ, и НК⊥АВ.
АВ - общая для квадрата и равностороннего треугольника, и
МК=АВsin 60°=2√2•√3/2=√6
Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой.
Т.к. КН ⊥СD, то по т. о трех перпендикулярах МК⊥CD, ⇒ МК=5.
По т.косинусов из ∆ МКН
cos ∠MKH=(MH²-MK²-KH²)² (- 2MK•KH)
cos ∠MKH=(25-8-6): (-2•2√12)
cos ∠MKH= -11/8√3= - 0,7939 Это косинус тупого угла.
По данному решению рисунок в приложении 2.
Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.
ДоказательствоРассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB.
Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90°
Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2.
угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем
угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2
то есть равен половине угловой величины дуги ВА.
Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.
Теорема 2 (о касательной и секущей)Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.
ДоказательствоНа рисунке, где MA - касательная, а MCB - секущая,
эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это.
По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. угол(MAC)=угол(ABC).
Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.
Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС