На грани ABC тетраэдра ABCD отметили точку P. Точки A1,B1,C1 — проекции точки P на грани BCD, ACD, ABD соответственно. Оказалось, что PA1=PB1=PC1. Найдите ∠BA1C, если известно, что ∠BC1D=135∘, ∠CB1D=111∘.

Т.к.  один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то  и второй острый угол этого треугольника тоже равен 45°, а сам треугольник является равнобедренным  ( гипотенуза является основанием равнобедренного треугольника, а катеты являются бедрами этого равнобедренного треугольника и соответственно равны друг другу )

Пусть а и b - катеты треугольника, а с - его гипотенуза. Так как в нашем случае катеты равны, то по теореме Пифагора с² = 2а²

Площадь же данного треугольника можно найти по формуле S = a*b/2

Так как в данном треугольнике катеты равны друг другу, то формула площади треугольника примет вид S = a²/2 = c²/4

Подставим численное значение длины гипотенузы в полученную формулу и найдём площадь треугольника:

S = c²/4 = 20²/4 = 400/4 = 100

Площадь данного прямоугольного треугольника равна 100.

Номер 1
Рассмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
угол AOC равен углу BOD(как вертикальные)
AO=OB и CO=OD(по условию,т.к. точка серединой является O)
значит треугольник AOC равен треугольнику BOD(по двум сторонам и углу между ними)
значит угол DAO равен углу  CBO(в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы)

номер 2: Рассмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию угол BDA равен углу ADC
сторона AD-общая
и по условию угол BAD=углу DAC(т.к. AD биссектриса)
Значит треугольник ABD равен треугольнику ADC(по двум углам и стороне между ними)
значит сторона AB=AC(т.к. в равных треугольниках против равных углов лежат равны стороны)