На одной из сторон угла отложены отрезки = 20 см, = 64 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки = 32 см и =
40 см. Подобны ли треугольники и ? ответ обоснуйте.

Так как призма прямая и в основании квадрат, все углы между ребрами прямые. Между пересекающимися боковым ребром и диагональю основания, а так же пересекающимися стороной основания и диагональю боковой грани уголы прямые (если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения). По теореме Пифагора находим: (17^2-15^2)=64 - квадрат диагонали основания. 64/2 = 32 - квадрат стороны основания. 32 + 15^2 = 32+225 =257 - квадрат диагонали боковой грани \|257 (см) - диагональ боковой грани

 Перпендикуляр, проведенный через середину боковой стороны равнобедренного треугольника,  делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки 17 см и 8 см, считая от вершины.
Найти площадь и периметр данного треугольника.

Обозначим вершины треугольника А, В, С, причем АВ=ВС. 

Т.к. ∆ АВС - равнобедренный, высота ВН, проведенная к основанию, является медианой, и, следовательно, ВН - срединный перпендикуляр. Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника - центр описанной вокруг него окружности. 

Расстояние от О  до вершин А, В и С равно радиусу.  R=ВО=СО=17 см. 

∆ СОН - прямоугольный, его гипотенуза и один из катетов - из Пифагоровых троек ( 8, 15,17), ⇒,  НС=15 см ( проверьте по т.Пифагора).

Отсюда АС=2•15=30 см

По т.Пифагора  AB=ВС=√(BH*+CH*)=√(625+225)=√850=5√34 см

Р=30+2•5√34=10•(3+√34) см

S=BH•CH=375 см²