На окружности радиуса 3 последовательно в указанном порядке расположены точки,а,b,c.данные точки делят окружность на 3 дуги ab bc ca градусные меры ,к.относятся как 3: 2: 1 а)найдите градусную меру дуги bc б)найдите длину дуги ав
Решение. Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСD. Точку касания окружности с прямой, которая содержит сторону СD, обозначим Н.
Середину АD обозначим М. Продолжим АВ до пересечения с продолжением СD и точку пересечения обозначим К. ВС равна половине АD по условию задачи, и потому, будучи параллельной ей,
является средней линией треугольника АКD. Следовательно,
КС=СD,
ВК=АВ=6 Соединим С с серединой М основания АD. СМ - параллельна АВ как вторая средняя линия треугольника АКD, так как АМ=МD и KC=CD. Рассмотрим треугольник МСD. Его стороны МС=6, CD=8, MD=10 и относятся как 3:4:5. Это отношение - отношение сторон египетского треугольника -
и потому угол МСD- прямой. Проверив это утверждение теоремой косинусов, или, что проще, теоремой Пифагора, сможем убедиться в его верности. По той же причине ( отношение сторон треугольника АКD равно 3:4:5, угол АКD также прямой, а также еще потому, что АК|| МС. Соединим центр окружности с вершинами А и В трапеции. Получим равнобедренный треугольник АОВ.
Проведем высоту ОР ( она же и медиана этого треугольника) к АВ. Рассмотрим четырехугольник РКНО.
В нем три угла прямые: угол ОНК прямой - так как радиус ОН перпендикулярен к касательной КD, угол КРО - как угол, образованный высотой равнобедренного треугольника АОВ, угол АКН - как соответственный углу МСD, следовательно, это - прямоугольник и сторона РК=ОН=R. Так как выше доказано, что ВК=6, а РВ=половине АВ=3, РК=6+3=9 см РК=ОН=R Искомый радиус равен 9 см.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в пять раз меньше суммы двух других.
============================================================
Пусть ∠А = ∠С = х , ∠В = у, тогдаРассмотрим 2 случая решения данной задачи:Первый случай:∠В = ( ∠А + ∠С )/5у = 2х/5Сумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180°х + 2х/5 + х = 18х°12х/5 = 180°х = 75°Значит, ∠А = ∠С = 75° , ∠В = 30°Второй случай:∠А = ( ∠В + ∠С )/5х = ( у + х )/55х = у + ху = 4хСумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180х + 4х + х = 180°6х = 180°х = 30°Значит, ∠А = ∠С = 30° , ∠В = 120°ОТВЕТ: 30°, 75°, 75° ИЛИ 30°, 30°, 120°Решение.
Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСD.
Точку касания окружности с прямой, которая содержит сторону СD, обозначим Н.
Середину АD обозначим М.
Продолжим АВ до пересечения с продолжением СD и точку пересечения обозначим К.
ВС равна половине АD по условию задачи, и потому, будучи параллельной ей,
является средней линией треугольника АКD.
Следовательно,
КС=СD,
ВК=АВ=6
Соединим С с серединой М основания АD.
СМ - параллельна АВ как вторая средняя линия треугольника АКD, так как АМ=МD и KC=CD.
Рассмотрим треугольник МСD.
Его стороны МС=6, CD=8, MD=10 и относятся как 3:4:5.
Это отношение - отношение сторон египетского треугольника -
и потому угол МСD- прямой.
Проверив это утверждение теоремой косинусов, или, что проще, теоремой Пифагора, сможем убедиться в его верности.
По той же причине ( отношение сторон треугольника АКD равно 3:4:5, угол АКD также прямой, а также еще потому, что АК|| МС.
Соединим центр окружности с вершинами А и В трапеции.
Получим равнобедренный треугольник АОВ.
Проведем высоту ОР ( она же и медиана этого треугольника) к АВ.
Рассмотрим четырехугольник РКНО.
В нем три угла прямые: угол ОНК прямой - так как радиус ОН перпендикулярен к касательной КD, угол КРО - как угол, образованный высотой равнобедренного треугольника АОВ, угол АКН - как соответственный углу МСD, следовательно, это - прямоугольник и сторона РК=ОН=R.
Так как выше доказано, что ВК=6, а РВ=половине АВ=3, РК=6+3=9 см
РК=ОН=R
Искомый радиус равен 9 см.