на окружности с центром о отмечены точки а и в так, что угол аов 42. Длина большей дуги ав равна 53. Найдите длину меньшей дуги ​

1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.

2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.

докажем это.

рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.

2) ΔАВС, ∠С = 90°, ∠А = α = π/3, АВ = с = 20, АС=?

Решение.

АС/АВ = Сosα, ⇒ AC = ABCosα = cCosα

AC = cCosα

AC = 20Cosπ/3 = 20*1/2 = 10

АС = 10

3)ΔАВС, ∠А = ∠С = α = 30°, АВ = ВС = а = 12, АL=? ( АL - биссектриса)

Решение

1) ΔАВС , ∠А = ∠С = α = 30°, ∠В =  180° - 2*30° = 120°, АВ = ВС = а = 12

Ищем АС по т. косинусов

АС² = 12² + 12² - 2*12*12*Сos120² = 144 +144 + 288*1/2= 432

АС = 12√3

2) ΔАLC, ∠C = α = 30°, ∠LAC = α/2 = 15°,

∠ALC = 180° -(α +α/2) =180° -1,5α= 135°

AL ищем по т. синусов

AL/SinC = AC/Sin(180-1,5α)

AL= AC*Sinα/Sin1,5α = 12√3*Sinα/Sin1,5α

AL = 12√3*Sinα/Sin1,5α

AL = 12√3*1/2/√2/2= 6√3/√2/2 = 12√3/√2 = 6√6

АL= 6√6