1). Координатный метод. Привяжем прямоугольную систему координат к вершине С. В правильном шестиугольнике угол АСD=90°, <DCF=<DFC=30°. Точки:С(0;0;0), А1(0;5√3;11), С1(0;0:11), D1(5;0;11). Вектор СА1{0;5√3;11}. Вектор C1D1{5;0;0}. Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение вычисляется по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2+z1*z2. В нашем случае: (CА1,C1D1)=0+0+0=0. Скрещивающиеся прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны, что и требовалось доказать.
2). Построение сечения. Точка F1 принадлежит сечению и грани FF1E1E, Значит линия пересечения пройдет через эту грань до встречи с прямой, содержащей ребро СD, в точке S. Проведя прямую F1S, получим точку P Точно так же находим точку Q на ребре ВВ1. Соединив полученные и имеющиеся точки С,Q,A1,F1,P и D, получим искомое сечение СQA1F1PD. Площадь этого сечения равна площади прямоугольника CDF1A1 и площадей двух равных треугольников A1QC и F1PD. Модуль (длина) вектора |СА1|=√[(Xa1-Xc)²+(Ya1-Yc)²+(Za1-Zc)²] или |СА1|=√[(0-0)²+(5√3-0)²+(11-0)²]=√196=14. Scdf1a1=CD*CA1=5*14=70. В треугольнике ТВС <CBT=180-120=60, <TCB=90-30=60. Значит треугольник равносторонний и ТВ=ВС=ВА=5. Треугольники TQB и ТА1А подобны с коэффициентом подобия k=1/2. BQ=11:2=5,5. Итак, имеем точку Q(-2,5;2,5√3;5,5). Есть формула вычисления площади треугольника, заданного координатами вершин, исходя из того, что площадь треугольника равна половине векторного произведения векторов, на которых построен векторный параллелограмм: Формула для вычисления векторного произведения: a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}. Вектор СА1{0;5√3;11}. Вектор CQ{-2,5;2,5√3;5,5}. Тогда векторное произведение векторов СА1хСQ равно: {5√3*5,5-11*2,5√3; 11*(-2,5)-0; 0-5√3*(-2,5)}={27,5√3-27,5√3;-27,5;12,5√3} Модуль |СА1хСQ|=√(0+756,25+468,75)=√1225=35. Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения, то площадь двух треугольников равна 35 ед². ответ: S=70+35=105ед².
Через точку М проведем прямую, параллельную B₁D₁ - MN.
Продлим прямую MN до пересечения с ребрами A₁D₁ и A₁B₁. Через получившиеся точки и точку К проведем прямые, которые пересекут ребра DD₁ и ВВ₁ в точках F и Е. KENMF - искомое сечение.
MN - средняя линия ΔB₁C₁D₁. A₁C₁ ∩ MN = T ⇒ A₁T = 3/4 A₁C₁
T∈ (AA₁C₁), K∈ (AA₁C₁), A₁C⊂(AA₁C₁) ⇒ α ∩ A₁C = O
Проведем КК₁ ║ АС в плоскости (АА₁С₁).
ΔАА₁С₁ подобен ΔКА₁К₁ ⇒ А₁К : АА₁ = А₁К₁ : А₁С = КК₁ : АС = 3 : 4, т.е. КК₁ = 3/4 АС,
значит КК₁ = А₁Т.
⇒ ΔА₁ОТ = ΔК₁ОК ⇒ А₁О = ОК₁ ⇒ А₁О = 1/2 А₁К₁
Но А₁К₁ = 3/4 А₁С ⇒ А₁О = 1/2 · 3/4 А₁С = 3/8 А₁С .
Значит, А₁О : ОС = 3 : 5.
Пусть ребро куба равно а.
Тогда А₁К = 3/4а, А₁С₁ = а√2, А₁Т = 3/4·а√2
ΔКА₁Т: tg∠A₁TK = A₁K / A₁T = 3/4a / (3/4·a√2) = 1/ √2
∠A₁TK = arctg (1/√2) - это угол между плоскостью сечения и плоскостью верхнего основания (а значит, и нижнего)
Привяжем прямоугольную систему координат к вершине С.
В правильном шестиугольнике угол АСD=90°, <DCF=<DFC=30°.
Точки:С(0;0;0), А1(0;5√3;11), С1(0;0:11), D1(5;0;11).
Вектор СА1{0;5√3;11}.
Вектор C1D1{5;0;0}.
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение вычисляется по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2+z1*z2.
В нашем случае:
(CА1,C1D1)=0+0+0=0.
Скрещивающиеся прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны, что и требовалось доказать.
2). Построение сечения.
Точка F1 принадлежит сечению и грани FF1E1E, Значит линия пересечения пройдет через эту грань до встречи с прямой, содержащей ребро СD, в точке S. Проведя прямую F1S, получим точку P Точно так же находим точку Q на ребре ВВ1. Соединив полученные и имеющиеся точки С,Q,A1,F1,P и D, получим искомое сечение СQA1F1PD.
Площадь этого сечения равна площади прямоугольника CDF1A1 и площадей двух равных треугольников A1QC и F1PD.
Модуль (длина) вектора |СА1|=√[(Xa1-Xc)²+(Ya1-Yc)²+(Za1-Zc)²] или
|СА1|=√[(0-0)²+(5√3-0)²+(11-0)²]=√196=14.
Scdf1a1=CD*CA1=5*14=70.
В треугольнике ТВС <CBT=180-120=60, <TCB=90-30=60. Значит треугольник равносторонний и ТВ=ВС=ВА=5.
Треугольники TQB и ТА1А подобны с коэффициентом подобия k=1/2.
BQ=11:2=5,5. Итак, имеем точку Q(-2,5;2,5√3;5,5).
Есть формула вычисления площади треугольника, заданного координатами вершин, исходя из того, что площадь треугольника равна половине векторного произведения векторов, на которых построен векторный параллелограмм:
Формула для вычисления векторного произведения:
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
Вектор СА1{0;5√3;11}. Вектор CQ{-2,5;2,5√3;5,5}.
Тогда векторное произведение векторов СА1хСQ равно:
{5√3*5,5-11*2,5√3; 11*(-2,5)-0; 0-5√3*(-2,5)}={27,5√3-27,5√3;-27,5;12,5√3}
Модуль |СА1хСQ|=√(0+756,25+468,75)=√1225=35.
Поскольку площадь треугольника равна половине векторного произведения, то площадь двух треугольников равна 35 ед².
ответ: S=70+35=105ед².