На прямоугольном столе лежат несколько картонных прямоугольников.
их стороны параллельны сторонам стола. размеры прямоугольников
могут различаться, они могут перекрываться, но никакие 2
прямоугольника не имеют 4 общие вершины. может ли так оказаться, что
каждая точка, являющаяся вершиной прямоугольника, является вершиной
ровно трех других прямоугольников?

СОВЕРШЕННО ДРУГАЯ задача :) Дана окружность, в ней из одной точки проведены две хорды под углом 60°, их длины 11 и 13, надо найти длину окружности.
По теореме косинусов легко сосчитать, что третья сторона (в квадрате) вписанного треугольника, сторонами которого являются эти хорды, равна 11^2 + 13^2 - 2*11*13*(1/2) = 147 = 49*3; то есть третья сторона равна 7√3;
По теореме синусов 7√3 = 2Rsin(60°) = R√3; то есть R = 7; 
Длина окружности с таким радиусом равна 14π;
ТЕПЕРЬ можно перейти к ЭТОЙ задаче и сразу написать ответ 14π;
(А почему? :) )

1. В любой прямой призме проекция диагонали призмы на ее основание - диагональ основания. Следовательно, сечение, проходящее через диагональ призмы и её проекцию на основание - это прямоугольник.
2. Диагональное сечение призмы - прямоугольник ВВ1D1D.
АА1=AD=2√3. Значит высота призмы равна 2√3.
Диагональ призмы найдем по Пифагору: BD=√(AD²+AB²).
АВ=DC (противоположные стороны основания).
BD=√(12+25) = BD=√37.
Площадь сечения равна S=BD*BB1 =√37*2√3 =2√111.
3. Проведем через сторону ВС сечение ВСН, перпендикулярное ребру АА1.Тогда ВН и СН - высоты боковых граней АА1В1В и АА1С1С соответственно и зная площади этих граней, найдем эти высоты.
ВН=Saa1b1b/AA1 = 80/10=8см.
СН=Scaa1c1/AA1 = 40/10=4см.
По теореме косинусов найдем сторону ВС:
ВС=√64+16-2*32*(-1/2) = √112 = 4√7.
Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.
Периметр сечения у нас равен Рbch=4+8+4√7=(12+4√7)см.
Sбок=(12+4√7)*10= 40(3+√7)см².