Октаэдр в задаче можно представить себе следующим образом. Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра. К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0) то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно. Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c. Вот тут самая важная часть решения. "С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба. Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней. В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра). То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c) "В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2". Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1); Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;
Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. углы АОВ и ВОС смежные.
Геометрия ГИА, Сумма смежных углов равна 180°
Сумма смежных углов равна 180°
Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Геометрия ГИА, Вертикальные углы равны
Вертикальные углы равны
Рис.2
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Геометрия ГИА, Прямые АС и BD перпендикулярные
Рис.3
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
Геометрия ГИА, АН — перпендикуляр к прямой
АН — перпендикуляр к прямой
Рис.4
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Геометрия ГИА, Чертежный угольник
Чертежный угольник
Рис.5
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра.
К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0)
то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно.
Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c.
Вот тут самая важная часть решения.
"С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба.
Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней.
В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра).
То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c)
"В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2".
Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1);
Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;
Объяснение:
Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. углы АОВ и ВОС смежные.
Геометрия ГИА, Сумма смежных углов равна 180°
Сумма смежных углов равна 180°
Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Геометрия ГИА, Вертикальные углы равны
Вертикальные углы равны
Рис.2
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Геометрия ГИА, Прямые АС и BD перпендикулярные
Рис.3
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
Геометрия ГИА, АН — перпендикуляр к прямой
АН — перпендикуляр к прямой
Рис.4
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Геометрия ГИА, Чертежный угольник
Чертежный угольник
Рис.5
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».