На рисунке дано угол СВЕ меньше угла АВЕ на 68°.Найдите углы треугольника АВС.
​

Даны вершины: A,(-3, 3) B (7, 5)C (4, 1).

Угол между прямыми АВ и АС можно определить двумя

1) геометрическим по теореме косинусов,

2) векторным через скалярное произведение.

1) Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √104 ≈  10,19804.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √25 = 5.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √53 ≈ 7,28011.

cos A= АВ²+АС²-ВС²  = 0,88897.  

          2*АВ*АС    

  A = 0,475695219 радиан,

  A = 27,25532837 градусов .

2)                      х      у     Длина

  Вектор АВ  10   2    10,19804.

  Вектор АС  7 -2    7,28011.

Угол определяем по формуле:

α = arc cos |ax*bx+ay*by|/(√(ax^2+ay^2)*√(bx^2+bу^2)).

α = arc cos |10*7+2*(-2)|/(√104*√53) = 66/2√1378  = 33/√1378 ≈

33/37,12142239 ≈ 0,88897.

Угол дан выше.

.        

Боковая сторона равна малому основанию, т.к. накрест лежащие углы при основаниях равны.

Периметр равен 22, малая сторона а, проекция боковой стороны на основание (22 - 4a)/2 = 11 - 2a

рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой, проекцией боковой стороны на основание и для малинового - диагональю, для красного - боковой стороной.

Для малого

tg (β) = 3x/(11-2a)

Для большого

tg (2β) = 7x/(11-2a)

Разделим одно уравнение на другое

tg (2β)/tg (β) = (7x/(11-2a)) / (3x/(11-2a))

tg (2β)/tg (β) = 7/3

---

по формуле тангенса половинного угла

tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β))

---

2*tg (β) / (1 - tg² (β)) /tg (β) = 7/3

1 - tg² (β) = 6/7

tg² (β) = 1/7

tg (β) = 1/√7

tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β)) = 2/√7 / (1 - (1/√7)²) = 2/√7 * 7/6 = √7/3

---

выразим косинус двойного угла через тангенс β

cos (2β) = (1 - tg² (β)) / (1 + tg² (β)) = (1 - 1/7) / (1 + 1/7) = 6/7 / 8/7 = 3/4

Косинус двойного угла - это отношение проекции боковой стороны к боковой стороне

cos (2β) = (11-2a)/a = 3/4

44 - 8a = 3a

44 = 11a

a = 4

Это малое основание

Большое основание

b = 22 - 3*a = 22 - 12 = 10

Средняя линия

c = 1/2(a+b) = 1/2(4+10) = 7