На рисунке отрезки KM и LM пересекаются. докажи , что прямые KL и MN параллельны Эти углы – внутренние накрест лежащие при
∆KLO = ∆MNO.
В треугольниках KLO и MNO
LO = NO, KO = MO и ∠KOL = ∠MON, потому что
По первому признаку параллельности прямых следует,
Из равенства треугольников следует равенство ∠KLO = ∠MNO
KL ∥ MN, так как ∠KLO = ∠MNO.
∠KOL, ∠MON – вертикальные углы.
пересечении прямых KL и MN секущей LN.
Тогда по первому признаку равенства треугольников​

Середину отрезка с заданными координатами начала и конца находят как среднее арифметическое одноименных координат, то есть координаты точки М((3+1)/2;(-2+6)/2) или М(2;2).
Длина (модуль) CM=√[(Xm-Xc)²+(Ym-Yc)²] или
СМ=√[(2-5)²+(2+2)²]=√25=5.
Признак параллелограмма: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Сторона (вектор) АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или AB{3-1;6+2}.
AB{2;8} модуль (длина) |AB|=√(2²+8²)=√68.
Сторона (вектор) СD{Xd-Xc;Yd-Yc} или CD{7-5;6+2}.
CD{2;8} модуль (длина) |CD|=√(2²+8²)=√68.
Итак, противоположные стороны параллелограмма AB и CD равны по модулю и параллельны (два вектора параллельны, если отношения их координат равны, а у нас их отношение равно 1).
Следовательно, АВСD - параллелограмм, что и требовалось доказать.

Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, значит он делится ими на четыре прямоугольных треугольника и его площадб равна сумме площадей этих четырех треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следовательно, площадь нашего четырехугольника равна половине произведению его диагоналей.
Пусть четырехугольник АВСД и точка пересечения взаимно перпендикулярных диагоналей О.
Тогда площадь нашего четырехугольника S = 0,5AO*BO + 0,5OC*BO + 0,5AO*OD + 0,5OC*OD =
0,5BO*(AO+OC) + 0,5OD*(AO+OC) = (AO+OC)*(0,5BO+0,5OD) =
AC*BD.
Что и требовалось доказать.