a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)
KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.
SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.
LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH
Рассмотрим плоскость AST.
LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).
AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.
AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.
Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.
ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH
То есть плоскость делит высоту пополам.
б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.
ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит AL:AS=LU:ST=6:5.
HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1
SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.
ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.
Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5
ответ: 87,5.
x + 3y + 3 = 0
Объяснение:
Стороны:
5x - y - 1 = 0
x - y - 9 = 0
Точка пересечения высот: H(1; -2).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой 5x - y - 1 = 0:
h1 : (x - 1) + 5(y + 2) = 0; x + 5y + 9 = 0
Вершина, из которой выходит эта высота, есть точка пересечения высоты и стороны x - y - 9 = 0:
{ x + 5y + 9 = 0
{ x - y - 9 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = x - 9
{ x + 5(x-9) + 9 = 0
6x - 36 = 0; x = 6; y = -3. A(6; -3).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой x - y - 9 = 0:
h2 : (x - 1) + (y + 2) = 0; x + y + 1 = 0
Точно также находим точку пересечения высоты и стороны 5x - y - 1 = 0:
{ x + y + 1 = 0
{ 5x - y - 1 = 0
Решаем тоже подстановкой:
{ y = 5x - 1
{ x + 5x - 1 + 1 = 0
6x = 0; x = 0; y = -1. B(0; -1)
Теперь строим уравнение прямой по двум точкам:
(AB) : (x-6)/(0-6) = (y+3)/(-1+3)
(x-6)/(-6) = (y+3)/2
2(x-6) = -6(y+3)
2x - 12 = -6y - 18
2x + 6y + 6 = 0
a) K, L, M ∈ α; α║(SBC)
KL║BS; KM║BC; ML║CS как линии пересечения двух параллельных плоскостей с одной общей.
SH⊥(ABC); AT⊥BC; H∈AT как центр правильного треугольника лежащий на медиане. AH:HT=2:1 по свойству пересечения медиан.
LU⊥KM ⇒ KU=UM ⇒ U∈AT ⇒ LU⊂(AST) ⇒ LU∩SH
Рассмотрим плоскость AST.
LU║ST как линии пересечения двух параллельных плоскостей с (AST).
AK:KB=AL:LS=5:1 по теореме о пропорциональных отрезках.
AU:UT=AL:LS по теореме о пропорциональных отрезках.
Как уже известно AH:HT=2:1. Пусть AU=5x; UT=x ⇒AT=6x ⇒ AH=4x; HT=2x ⇒ HU=2x-x=x.
ΔSHT~ΔRHU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит SH:RH=HT:HU=2:1. Пусть SH=2y; RH=y ⇒ SR=2y-y=y ⇒ SR=y=RH
То есть плоскость делит высоту пополам.
б) AT=AB*sin 60°=(15+3)*√3/2=9√3.
ΔAST~ΔALU по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит AL:AS=LU:ST=6:5.
HT=1/3 *9√3=3√3 т.к. AH:HT=2:1
SH=13 ⇒ ST=√(169+27)=14 ⇒ LU=5/6 *14=35/3.
ΔAKM~ΔABC по 3 углам (1 общий остальные равны как соответственных угла при параллельных прямых).
Значит KM:BC=AK:AB=5:6 ⇒ KM=5/6 *18=15.
Как было указано в начале LU⊥KM ⇒ S=1/2* 15*35/3=175/2=87,5
ответ: 87,5.
x + 3y + 3 = 0
Объяснение:
Стороны:
5x - y - 1 = 0
x - y - 9 = 0
Точка пересечения высот: H(1; -2).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой 5x - y - 1 = 0:
h1 : (x - 1) + 5(y + 2) = 0; x + 5y + 9 = 0
Вершина, из которой выходит эта высота, есть точка пересечения высоты и стороны x - y - 9 = 0:
{ x + 5y + 9 = 0
{ x - y - 9 = 0
Решаем подстановкой:
{ y = x - 9
{ x + 5(x-9) + 9 = 0
6x - 36 = 0; x = 6; y = -3. A(6; -3).
Уравнение высоты, перпендикулярной к прямой x - y - 9 = 0:
h2 : (x - 1) + (y + 2) = 0; x + y + 1 = 0
Точно также находим точку пересечения высоты и стороны 5x - y - 1 = 0:
{ x + y + 1 = 0
{ 5x - y - 1 = 0
Решаем тоже подстановкой:
{ y = 5x - 1
{ x + 5x - 1 + 1 = 0
6x = 0; x = 0; y = -1. B(0; -1)
Теперь строим уравнение прямой по двум точкам:
(AB) : (x-6)/(0-6) = (y+3)/(-1+3)
(x-6)/(-6) = (y+3)/2
2(x-6) = -6(y+3)
2x - 12 = -6y - 18
2x + 6y + 6 = 0
x + 3y + 3 = 0