Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45* к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.
Всякое пересечение шара плоскостью есть круг. Так как плоскость проходит через конец диаметра, то одна точка образовавшегося круга принадлежит ему и диаметру.
Граница круга – окружность, проведем хорду в ней так, чтобы одна точка принадлежала концу диаметра шара, а другую так, чтобы в итоге хорда пересекала центр окружности.
Разделим диаметр шара пополам и соединим точку, являющуюся его серединой, с точкой хорды окружности, но не принадлежащей диаметру. Образуется треугольник, две стороны которого равны, так как являются радиусами шара, это в свою очередь следует из того, что оба соединяют его центр с одной из точек поверхности шара.
Угол между основанием и одной боковой стороной, нам известен, он равен углу между плоскостью и диаметром шара – 45*.
Соответственно и второй угол при основании будет равен 45*, а третий – 90*, согласно теореме о сумме углов треугольника.
Из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике можно легко найти диагональ сечения:
a = b : cos 45* a = b : sqrt(0,5)
b нам известен, это половина диаметра шара - его радиус. a = m : sqrt(0,5) = sqrt(2)m
Длина окружности рассчитывается по формуле: l = 2nR l = (sqrt(2) * m : 2) * 2 * n l = sqrt(2)mn
Всякое пересечение шара плоскостью есть круг. Так как плоскость проходит через конец диаметра, то одна точка образовавшегося круга принадлежит ему и диаметру.
Граница круга – окружность, проведем хорду в ней так, чтобы одна точка принадлежала концу диаметра шара, а другую так, чтобы в итоге хорда пересекала центр окружности.
Разделим диаметр шара пополам и соединим точку, являющуюся его серединой, с точкой хорды окружности, но не принадлежащей диаметру.
Образуется треугольник, две стороны которого равны, так как являются радиусами шара, это в свою очередь следует из того, что оба соединяют его центр с одной из точек поверхности шара.
Угол между основанием и одной боковой стороной, нам известен, он равен углу между плоскостью и диаметром шара – 45*.
Соответственно и второй угол при основании будет равен 45*, а третий – 90*, согласно теореме о сумме углов треугольника.
Из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике можно легко найти диагональ сечения:
a = b : cos 45*
a = b : sqrt(0,5)
b нам известен, это половина диаметра шара - его радиус.
a = m : sqrt(0,5) = sqrt(2)m
Длина окружности рассчитывается по формуле:
l = 2nR
l = (sqrt(2) * m : 2) * 2 * n
l = sqrt(2)mn
*n = Число Пи.
Даны точки A(3;9) B(8;4) C(-1;7).
1) составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности.
Координаты середин сторон треугольника (основания медиан).
х у
А₁ 3,5 5,5
х у
В₁ 1 8
х у
С₁ 5,5 6,5
Составим уравнения серединных перпендикуляров для сторон АВ и ВС, которые, как известно, проходят через основания медиан A1,B1.
и центр описанной окружности O2:
для стороны AB имеем
C1O2: x−xC1yB−yA=y−yC1xA−xB ⇔ x−5.54−9=y−6.53−8 ⇔ x−5.5−5=y−6.5−5 ⇔ x−y+1=0;
для стороны AC имеем
B1O2: x−xB1yC−yA=y−yB1xA−xC ⇔ x−17−9=y−83−(−1) ⇔ x−1−2=y−84 ⇔ 2x+y−10=0.
Теперь находим координаты центра описанной окружности как точки пересечения срединных перпендикуляров.
x−y+1=0
2x+y−10=0 сложение
3х - 9 = 0. Отсюда х = 9/3 = 3. Значение по оси Оу находим постановкой значения х = 3 в уравнение перпендикуляра. у = х + 1 = 3 + 1 = 4.
Координаты центра N(3; 4).
Находим радиус R = √((3 - 3)² + (4 - 9)²) = √(0 + 25) = 5.
Уравнение окружности: (x − 3)² + (y − 4)² = 5².
2) Написать уравнение эллипса, проходящего через точки B и C, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет.
Примем центр эллипса в начале координат (иначе нет решения без дополнительных данных).
(х²/а²) + (у²/b²) = 1. Подставим заданные координаты точек В и С.
(64/а²) + (16/b²) = 1.
(1/а²) + (49/b²) = 1. Замена: (1/а²) = u, (1/b²) = v. Система:
64u + 16v = 1 64u + 16v = 1
1u + 49v = 1 Умножим = 64 64u + 3136v = 64 вычтем 2 - 1
3120v = 63
v = 63/3120 = 21/1040 ≈ 0,020192308
Находим параметр b = √(1/v) = 7,037316.
u = 1 - 49v = 0,010577.
Находим параметр a = √(1/u) = 9,72345.
Уравнение эллипса (х²/9,72345²) + (у²/7,037316²) = 1.
Параметр с = √(a² - b²) = 6,709817.
Эксцентриситет е = с/а = 6,709817/9,72345 = 0,690066.
3) точки и кривые в системе координат в приложении.