На сторонах правильного треугольника вне его построены квадраты. Являются ли вершины квадратов, расположенные вне треугольника, вершинами правильного шестиугольника?
Попробуем координатный метод стартуем в начале координат, от него вправо сторона длиной 15, вправо вверх сторона 14, И из точки (15;0) влево вверх сторона 13 Координата третей вершины найдётся из системы x^2+y^2=14^2 (x-15)^2+y^2=13^2 вычтем из второго первое x^2 + y^2 = 196 x^2 + y^2 - 30 x = -56 ----------- 30х = 252 x = 42/5 y^2 = 196 - (42/5)^2 = 3136/25 y = +- 56/5, отрицательный корень нам не нужен y = 56/5 Итак, три вершины А(0;0) В(15;0) С(8.4;11.2) --------------------------------- начнём с медиан. медиана из вершины А пересекает сторону ВС в точке 1/2((15;0)+(8.4;11.2)) = (11.7;5.6) уравнение этой медианы y = 5.6/11.7 x медиана из вершины В пересекает сторону АС в точке 1/2((0;0)+(8.4;11.2)) = (4.2;5.6) y=kx+b 5.6=4.2k+b 0=15k+b k = -14/27 b = 70/9 y=-14/27x+70/9 и точка пересечения медиан найдётся из решения системы y = 5.6/11.7x y=-14/27x+70/9 ------------- x = 39/5 y = 56/15 Точка пересечения медиан М(39/5;56/15) -------------------------------------- теперь высоты Проще всего с вертикальной. Её уравнение x=8.4 Уравнение прямой ВС В(15;0) С(8.4;11.2) y=kx+b 11.2=8.4k+b 0=15k+b k = -56/33 b = 280/11 y = -56/33x + 280/11 собственно, нам b не нужно, а нужен угловой коэффициент для построения перпендикуляра к стороне BC В уравнении перпендикуляра угловой коэффициент будет равен k₁ = -1/k = 33/56 а b₁ равен 0, т.к. высота исходит из начала координат y = 33/56x x = 8.4 решение x = 42/5, y = 99/20 Это координаты точки пересечения высот H(42/5;99/20) -------------------------------------------------------------- теперь биссектрисы Уравнение стороны АС y=11.2/8.4x=4/3x координата точки на расстоянии 1 от начала координат будет y^2+x^2=1^2 16/9x^2+x^2 = 1 x=+-3/5, отрицательный корень не нужен x=3/5 y=4/5 Единичный вектор по стороне АВ будет иметь координаты (1;0) среднее арифметическое между последними двумя точками, т.е. точка, принадлежащая биссектрисе 1/2((3/5;4/5)+(1;0)) = 1/2(8/5;4/5) = (4/5;2/5) Уравнение биссектрисы из точки А y=1/2x Уравнение прямой ВС было в пункте y = -56/33x + 280/11 единичный вектор от точки В(15;0) к точке С(8.4;11.2) y^2+(x-15)^2=1^2 (-56/33x + 280/11)^2+(x-15)^2=1 (4225 (x - 15)^2)/1089 = 1 два решения x₁ = 942/65 x₂ = 1008/65 - второй корень, от точки С, нам не нужен x = 942/65 y = -56/33x + 280/11 = -56/33*942/65 + 280/11 = 56/65 Единичный вектор от В к С (942/65;56/65) Единичный вектор от В к A (14;0) Их среднее арифметическое (926/65;28/65) Это вторая точка биссектрисы из угла В(15;0) 28/65=k926/65+b 0=15k+b k = -4/7 b = 60/7 y = -4/7x + 60/7 решаем совместно с y=1/2x точка пересечения x = 8 y = 4 И это точка пересечения биссектрис L(8;4) ------------------- М(39/5;56/15) H(42/5;99/20) L(8;4) Площадь треугольника найдём через координаты, хотя возможны и другие методы S=((39/5-8)(99/20-4)-(56/15-4)(42/5-8))/2 = -1/24
Для этого нужно составить уравнение, в котором x - средняя линия, так как средняя линия равна половине параллельной ей стороны, уравнение получится такое:
x + 27 = 2x
27 = 2x - x
27 = x
Следовательно, средняя линия KM = x = 27 см
ответ: KM = 27 см
2.
Дано: пиши то, что дано
Найти: P(ABCD)
Данным четырехугольником будет ромб (Это доказывается тем, что треугольники, на которые в итоги делится прямоугольник равны по двум сторонам и углу между ними)
Сторона ромба будет средней линией треугольника, параллельной диагонали прямоугольника (Она делит стороны прямоугольника пополам по условию), следовательно, она будет равна половине диагонали, т.е. 18 см
Периметром является сумма всех сторон, поэтому периметром данного ромба будет 18, умноженное на 4:
18 * 4 = 72 см
ответ: 72 см
3.
Дано: пиши то, что дано
Найти: AB, BC
Тут снова нужно составить уравнение, где x - боковая сторона, основание будет равно 7*2 = 14 см (Так как средняя линия равна половине параллельной ей стороне), в итоге, уравнение получится такое:
стартуем в начале координат, от него вправо сторона длиной 15, вправо вверх сторона 14, И из точки (15;0) влево вверх сторона 13
Координата третей вершины найдётся из системы
x^2+y^2=14^2
(x-15)^2+y^2=13^2
вычтем из второго первое
x^2 + y^2 = 196
x^2 + y^2 - 30 x = -56
-----------
30х = 252
x = 42/5
y^2 = 196 - (42/5)^2 = 3136/25
y = +- 56/5, отрицательный корень нам не нужен
y = 56/5
Итак, три вершины
А(0;0) В(15;0) С(8.4;11.2)
---------------------------------
начнём с медиан.
медиана из вершины А пересекает сторону ВС в точке
1/2((15;0)+(8.4;11.2)) = (11.7;5.6)
уравнение этой медианы
y = 5.6/11.7 x
медиана из вершины В пересекает сторону АС в точке
1/2((0;0)+(8.4;11.2)) = (4.2;5.6)
y=kx+b
5.6=4.2k+b
0=15k+b
k = -14/27
b = 70/9
y=-14/27x+70/9
и точка пересечения медиан найдётся из решения системы
y = 5.6/11.7x
y=-14/27x+70/9
-------------
x = 39/5
y = 56/15
Точка пересечения медиан
М(39/5;56/15)
--------------------------------------
теперь высоты
Проще всего с вертикальной. Её уравнение x=8.4
Уравнение прямой ВС
В(15;0) С(8.4;11.2)
y=kx+b
11.2=8.4k+b
0=15k+b
k = -56/33
b = 280/11
y = -56/33x + 280/11
собственно, нам b не нужно, а нужен угловой коэффициент для построения перпендикуляра к стороне BC
В уравнении перпендикуляра угловой коэффициент будет равен
k₁ = -1/k = 33/56
а b₁ равен 0, т.к. высота исходит из начала координат
y = 33/56x
x = 8.4
решение
x = 42/5, y = 99/20
Это координаты точки пересечения высот
H(42/5;99/20)
--------------------------------------------------------------
теперь биссектрисы
Уравнение стороны АС
y=11.2/8.4x=4/3x
координата точки на расстоянии 1 от начала координат будет
y^2+x^2=1^2
16/9x^2+x^2 = 1
x=+-3/5, отрицательный корень не нужен
x=3/5
y=4/5
Единичный вектор по стороне АВ будет иметь координаты (1;0)
среднее арифметическое между последними двумя точками, т.е. точка, принадлежащая биссектрисе
1/2((3/5;4/5)+(1;0)) = 1/2(8/5;4/5) = (4/5;2/5)
Уравнение биссектрисы из точки А
y=1/2x
Уравнение прямой ВС было в пункте
y = -56/33x + 280/11
единичный вектор от точки В(15;0) к точке С(8.4;11.2)
y^2+(x-15)^2=1^2
(-56/33x + 280/11)^2+(x-15)^2=1
(4225 (x - 15)^2)/1089 = 1
два решения
x₁ = 942/65
x₂ = 1008/65 - второй корень, от точки С, нам не нужен
x = 942/65
y = -56/33x + 280/11 = -56/33*942/65 + 280/11 = 56/65
Единичный вектор от В к С
(942/65;56/65)
Единичный вектор от В к A
(14;0)
Их среднее арифметическое
(926/65;28/65)
Это вторая точка биссектрисы из угла В(15;0)
28/65=k926/65+b
0=15k+b
k = -4/7
b = 60/7
y = -4/7x + 60/7
решаем совместно с
y=1/2x
точка пересечения
x = 8
y = 4
И это точка пересечения биссектрис
L(8;4)
-------------------
М(39/5;56/15)
H(42/5;99/20)
L(8;4)
Площадь треугольника найдём через координаты, хотя возможны и другие методы
S=((39/5-8)(99/20-4)-(56/15-4)(42/5-8))/2 = -1/24
1.
Дано: пиши то, что дано
Найти: KM
Для этого нужно составить уравнение, в котором x - средняя линия, так как средняя линия равна половине параллельной ей стороны, уравнение получится такое:
x + 27 = 2x
27 = 2x - x
27 = x
Следовательно, средняя линия KM = x = 27 см
ответ: KM = 27 см
2.
Дано: пиши то, что дано
Найти: P(ABCD)
Данным четырехугольником будет ромб (Это доказывается тем, что треугольники, на которые в итоги делится прямоугольник равны по двум сторонам и углу между ними)
Сторона ромба будет средней линией треугольника, параллельной диагонали прямоугольника (Она делит стороны прямоугольника пополам по условию), следовательно, она будет равна половине диагонали, т.е. 18 см
Периметром является сумма всех сторон, поэтому периметром данного ромба будет 18, умноженное на 4:
18 * 4 = 72 см
ответ: 72 см
3.
Дано: пиши то, что дано
Найти: AB, BC
Тут снова нужно составить уравнение, где x - боковая сторона, основание будет равно 7*2 = 14 см (Так как средняя линия равна половине параллельной ей стороне), в итоге, уравнение получится такое:
14 + x + x = 43
2x = 43 - 14
2x = 29
x = 29/2
x = 14,5 см
AB = BC = x = 14,5 см
ответ: 14,5 см