НА СТОРОНАХ ВС И CD ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ABCD ОТМЕЧЕНЫ СООТВЕТСТВЕННО ТОЧКИ M И P ТАК, ЧТО BM:МС=2:5, CP:PD=3:1. ВЫHАЗИТЕ ВЕКТОР МP ЧЕРЕЗ ВЕКТОРЫ АВ=А И AD=B.

Объем призмы вычисляют произведением площади её основания на высоту. 
V=SH 
Так как данные призмы имеют равную высоту, отношение их объёмов будет отношением площадей их оснований. 
Основание правильной шестиугольной призмы состоит из 6 правильных треугольников.
Поэтому отношение площади основания меньшей призмы к площади основания исходной равно отношению площади одного треугольника меньшего основания к площади одного треугольника большего основания. 
Рассмотрим приложенный рисунок основания призмы. 
Сторона ОН меньшего  основания является высотой треугольника АОВ.
Из 6 таких треугольников состоит большее основание. 
Пусть сторона АО=а. 
Тогда ОН=а*sin(60°)=а√3):2 
Коэффициент подобия треугольников НОМ и АОВ= 
НО:АО=(а√3):2):а=(√3):2 
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия: 
S  НОМ: S АОВ=[(√3):2)]²=3/4 
Следовательно, искомый объём равен 3/4 от V, т.е. 3V/4

Найдем координаты векторов АВ, ВС, CD, AD (из координат конца вычитаем координаты начала)

АВ{2;-5;-2}

BC{-4;1;-4}

CD{-2;5;2}

AD{-4;1;-4}

AB и CD коллинеарны, т.е стороны AB||CD

BC  и AD коллинеарны, т.е стороны BC||AD

 А значит ABCD параллелограмм по определению.

Найдем дины сторон

АВ=√2²+(-5)²+(-2)²=√33

BC=√(-4)²+1²+(-4)²=√33

CD=√(-2)²+5²+2²=√33

AD=√(-4)²+1²+(-4)²=√33

так как длины сторон равны, то это ромб

Для определения квадрат это или нет достаточно посчитать скалярное произведение двух векторов, например, АВ и ВС. Если скалярное произведение получится равное 0, то угол между сторонами АВ и ВС будет прямой. Проверим

АВ·ВС=2*(-4)+(-5)*1+(-2)*(-4)=-8-5+8=-5 следовательно они не перпендикулярны, т.е. АВСD не является квадратом.