На стороне ab треугольника abc отмечены точки c1,c2 (c2 ближе к b), на стороне bc – точки a1,a2 (a2 ближе к c), на стороне ca - точки b1,b2 (b2 ближе к a). оказалось, что прямая c2a1 параллельна ca, a2b1 параллельна ab, b2c1 параллельна bc и все эти шесть прямых касаются вписанной окружности треугольника abc. радиусы вписанных окружностей треугольников ab2c1, bc2a1 и ca2b1 равны √2, √8 и √32 соответственно. найдите отношение ab: ac1
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Поскольку угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны
(а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r).
Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.