На стороне AC треугольника АВС выбраны точки DPE так, что отрез-
ки AD и СЕравны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BЕ тоже равны.
Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

1) ∠ABC=∠ABD, BC=BD

△ABC=△ABD (по двум сторонам и углу между ними, AB - общая сторона)

2) ∠NMK=∠PKM, NM=PK

△NMK=△PKM (по двум сторонам и углу между ними, MK - общая)

3) RO=TO, OS=OP

∠ROS=∠TOP (вертикальные углы)

△ROS=△TOP (по двум сторонам и углу между ними)

4) ∠E=∠N, EO=NO

∠EOF=∠NOM (вертикальные углы)

△EOF=△NOM (по стороне и прилежащим к ней углам)

5) ∠Q=∠F, QM=PM  

∠QMK=∠PMF (вертикальные углы)

△QMK=△PMF (по стороне и прилежащим к ней углам)

6) ∠BAC=∠DCA, ∠ACB=∠CAD

△BAC=△DCA (по стороне и прилежащим к ней углам, AC - общая)

∠B=∠D, BA=DC (соответствующие элементы равных треугольников)

∠BAC-∠CAD=∠DCA-∠ACB <=> ∠BAO=∠DCO

△BAO=△DCO (по стороне и прилежащим к ней углам)

7) EM=FN, ∠EMN=∠FNM

△EMN=△FNM (по двум сторонам и углу между ними, MN - общая)

∠E=∠F, ∠MNE=∠NMF (соответствующие элементы равных треугольников)

∠EMN-∠NMF=∠FNM-∠MNE <=> ∠EMP=∠FNP

△EMP=△FNP (по стороне и прилежащим к ней углам)

8) AB=AD, BC=DC

△ABC=△ADC (по трем сторонам, AC - общая

Объяснение:

Согласно условию \tt \angle P=90^\circ∠P=90

∘

, значит \tt \angle E=90^\circ-\angle K=90^\circ-60^\circ=30^\circ∠E=90

∘

−∠K=90

∘

−60

∘

=30

∘

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник MPK:

\tt \angle PKM=90^\circ-\angle PMK=90^\circ-60^\circ=30^\circ∠PKM=90

∘

−∠PMK=90

∘

−60

∘

=30

∘

Из треугольника MKE: \tt \angle MKE=60^\circ-30^\circ=30^\circ∠MKE=60

∘

−30

∘

=30

∘

и поскольку углы при основании равны, то треугольник MKE - равнобедренный, ME = MK = 16 см.

Вернемся теперь снова к прямоугольному треугольнику MPK: против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, то есть: PM = MK/2=8 см.

ответ: 8 см.