На стороне bc треугольника abc выбрана точка d. оказалось, что ∠bac: ∠adc: ∠acb=3: 2: 1. найдите длину отрезка ad, если ab=11, bc=19.

AD = 8 ед.

Объяснение:

По теореме синусов в треугольнике АВС имеем:

АВ/sinx = BC/Sin3x.

По формуле тройного аргумента Sin3x = 3Sinx - 4Sin³x  =>

11/sinx = 19/(3sinx-4sin³x) => 14sinx - 44sin³x = 0.

2sinx(7-22sin²x) = 0  =>  Sinx = 0 (не удовлетворяет)

Sinx = ± √(7/22). По формуле двойного аргумента:

Sin2x = 2SinxСosx. (1)

В треугольнике АВС угол В = 180 - 4х (по сумме внутренних углов).

Sin (180 - a) = Sina  => SinB = Sin4x.

Sin4x = 2Sin2xСos2x.  (2) По формуле двойного аргумента.

В треугольнике ABD угол D = 180 - 2х (смежные углы).

Sin (180 - 2х) = Sin2х.

Тогда по теореме синусов в треугольнике ABD:

AB/SinD = AD/SinB => AD = 11·Sin4x/Sin2x.  Или

AD = 11·2Sin2xСos2x/2SinxСosx =>

AD =  11·2SinxСosx·2Сos2x/2SinxСosx = 11·2Сos2x = 22·Сos2x .

Cos2x =  1 - Sin²2x (формула двойного аргумента).

Cos2x = 1 - 2·7/22 = 8/22.

AD = 22·(8/22)  = 8 ед.