На стороне bc треугольника abc выбрана точка d. оказалось, что угол bac : угол adc : угол acb = 3 : 2 : 1 найдите длину отрезка ad, если ab =11, bc =19.
Общие касательные окружностей различных радиусов являются сторонами угла. Центры окружностей лежат на биссектрисе угла (так как окружности вписаны в угол). Отрезки касательных из одной точки равны, треугольники ATB и CTD равнобедренные, общая биссектриса является высотой, AB⊥TO₂, CD⊥TO₂, AB||CD.
Радиусы O₁A и O₂C перпендикулярны касательной AC, в треугольниках AO₁T и CO₂T угол при вершине T общий, ∠AO₁E=∠CO₂F. △AO₁E~△CO₂F по двум углам.
k=AO₁/CO₂ =12/20 =0,6 O₁E/O₂F =0,6
Через точку H проходит третья общая касательная, GH⊥TO₂. AG=GH, CG=GH (отрезки касательных из одной точки), AG=CG. GH параллельна AB и CD и делит EF в том же отношении, что и AC, то есть пополам, EH=FH.
Решение: Рассмотрим два возможных случая: 1) Пусть длина основания равнобедренного треугольника на 12 см больше длины его боковых сторон. Длину основания обозначим за х см, тогда по условию длины двух боковых сторон равны (х - 12) см. Зная, что периметр треугольника равен 45 см, составим и решим уравнение: х + (х - 12) + (х - 12) = 45 3х - 24 = 45 3х = 45 + 24 3х = 69 х = 69 : 3 х = 23 23 см - длина основания, 23 - 12 = 11 (см) - длины боковых сторон треугольника. Заметим, что такого треугольника не существует, для его сторон не выполнено неравенство треугольника, 23 см < 11 см + 11 см - неверно.
2) Пусть длина основания равнобедренного треугольника на 12 см меньше длины его боковых сторон. Длину основания обозначим за х см, тогда по условию длины двух боковых сторон равны (х + 12) см. Зная, что периметр треугольника равен 45 см, составим и решим уравнение: х + (х +12) + (х + 12) = 45 3х + 24 = 45 3х = 45 - 24 3х = 21 х = 21 : 3 х = 7 7 см - длина основания, 7 + 12 = 19 (см) - длины боковых сторон треугольника. Заметим, что такой треугольник существует, для его сторон выполнено неравенство треугольника, 19 см < 19 см + 7 см 7 см < 19 см + 19 см - верно. ответ: 7 см, 19 см, 19 см.
Радиусы O₁A и O₂C перпендикулярны касательной AC, в треугольниках AO₁T и CO₂T угол при вершине T общий, ∠AO₁E=∠CO₂F. △AO₁E~△CO₂F по двум углам.
k=AO₁/CO₂ =12/20 =0,6
O₁E/O₂F =0,6
Через точку H проходит третья общая касательная, GH⊥TO₂. AG=GH, CG=GH (отрезки касательных из одной точки), AG=CG. GH параллельна AB и CD и делит EF в том же отношении, что и AC, то есть пополам, EH=FH.
EH=O₁H +O₁E =12+O₁E
FH=O₂H -O₂F =20-O₂F
12+O₁E = 20-O₂F <=> 0,6 O₂F= 8-O₂F <=> O₂F =8/1,6 =5
EF= 2FH =2(20-5) =30
Рассмотрим два возможных случая:
1) Пусть длина основания равнобедренного треугольника на 12 см больше длины его боковых сторон. Длину основания обозначим за х см, тогда по условию длины двух боковых сторон равны (х - 12) см.
Зная, что периметр треугольника равен 45 см, составим и решим уравнение:
х + (х - 12) + (х - 12) = 45
3х - 24 = 45
3х = 45 + 24
3х = 69
х = 69 : 3
х = 23
23 см - длина основания, 23 - 12 = 11 (см) - длины боковых сторон треугольника.
Заметим, что такого треугольника не существует, для его сторон не выполнено неравенство треугольника, 23 см < 11 см + 11 см - неверно.
2) Пусть длина основания равнобедренного треугольника на 12 см меньше длины его боковых сторон. Длину основания обозначим за х см, тогда по условию длины двух боковых сторон равны (х + 12) см.
Зная, что периметр треугольника равен 45 см, составим и решим уравнение:
х + (х +12) + (х + 12) = 45
3х + 24 = 45
3х = 45 - 24
3х = 21
х = 21 : 3
х = 7
7 см - длина основания, 7 + 12 = 19 (см) - длины боковых сторон треугольника.
Заметим, что такой треугольник существует, для его сторон выполнено неравенство треугольника,
19 см < 19 см + 7 см
7 см < 19 см + 19 см - верно.
ответ: 7 см, 19 см, 19 см.