— на від- 4
476. Точка Kділить хорду AC кола навпіл, а хорду DE
різки завдовжки 2 см і 32 см. Знайдіть довжину хорди AC.
477." Точка E ділить хорду CD кола на відрізки завдовжки 15 см
і 16 см. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від точки Е до
центра кола дорівнює 4 см.
478." Точка Р ділить хорду МК кола на два відрізки завдовжки
8 см і 12 см. Знайдіть відстань від точки P до центра кола,
якщо його радіус дорівнює 11 см.
479." Через точку А проведено до кола дотичну AM (M
дотику) і січну, яка перетинає коло в точках KiP (точка к
лежить між точками А і Р). Знайдіть відрізок KP, якщо
AM = 12 см,
AP = 18 см.
480." Через точку А, яка лежить поза колом, проведено дві прямі,
одна з яких дотикається до кола в точці В, а друга перетинає
-
точка

В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагонали BD. Точка M  - середина диагонали AC. Прямая BM пересекает прямую CD в точке E. Докажите,  что BE = CE.

Объяснение:

К - точка пересечения прямой ВМ с основанием AD.

Рассмотрим треугольники АМК и СМВ:

АМ = МС по условию,

∠АМК = ∠СМВ как вертикальные,

∠МАК = ∠МСВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АК и ВС секущей АС, ⇒

ΔАМК = ΔСМВ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Следовательно, АК = ВС.

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

Значит, АВСК параллелограмм. ⇒ СК = АВ.

АВ = BD по условию, ⇒ СК = BD.

В трапеции KBCD диагонали равны, значит она равнобедренная.

Тогда ∠BKD = ∠CDK.

∠ЕВС = ∠BKD и ∠ЕСВ = ∠CDK как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых KD и ВС секущими EК и ED соответственно, ⇒

∠EBC = ∠ECB.

Из этого следует, что треугольник ЕВС равнобедренный и

ВЕ = СЕ.

По условию т.А перемещается в т.В поворотом, значит обе они лежат на одной окружности с центром поворота О' и радиусом О'А=О'В.

Аналогично т.С->т.Д, значит они тоже лежат на одной окружности с ц.п. О'' и радиусом О''С=О''Д.

Поскольку точки А, В, С, Д принадлежат прямоугольнику и являются его вершинами, то они должны лежать на общей описанной окружности с единственным центром О'=О''=О, только тогда одновременно выполняется О'А=О'В==О''С=О''Д

Угол поворота СОД= 180-2*ОСД= 180-2(90-ВСО)=180-2(90-20)=40°