На высоте ph параллелограмма abcd выбрана точка l, которая делит высоту в отношении 2: 5. докажите, что сумма площадей треугольников alb и dlc равна половине площади параллелограмма
рассматриваем в плоскости, усеченный конус - равнобедренная трапеция АВСД, в которою вписана окружность (шар), ВС=14, АВ=СД=10, уголА=уголД, уголВ=уголС,
в трапецию можно вписать окружность пир условии когда сумма боковых сторон=сумме оснований, АВ+СД=ВС+АД, 10+10=4+АД, АД=16, окружность касается оснований в их середине на ВС в точке К, на АД в точке Т, АТ=ТД=АД/2=16/2=8,
проводим высоты ВН и СЛ на АД, НВСЛ-прямоугольник НЛ=ВС=4, НТ=ТЛ=НЛ/2=4/2=2, треугольник АВН=треугольник ЛСД как прямоугольные по гипотенузе (АВ=СД) и острому углу (уголА=уголД), АН=ЛД=(АД-НЛ)/2=(16-4)/2=6,
треугольник АВН, ВН=высота трапеции=диаметр окружности(шара)=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате)=корень(100-36)=8, радиус шара=8/2=4, объем шара=4/3 * пи*радиус в кубе=4/3*пи*4*4*4=256пи/3
Тут есть два варианта. Отсеченный треугольник очевидно подобен исходному, и по условию, подобен Пифагоровому треугольнику со сторонами 5,12,13. 1) пусть 10 - это меньший катет ОТСЕЧЕННОГО треугольника. Тогда его (отсеченного треугольника) стороны равны 10, 24, 26. Нужно найти радиус ВНЕвписанной окружности, касающейся катета 10. ПОЛУпериметр p = (10 + 24 + 26)/2 = 30; площадь S = 10*24/2 = 120; S = ρ*(p - 10); ρ = 120/20 = 6; 2) пусть теперь 10 - это больший катет ОТСЕЧЕННОГО треугольника (это значит попросту, что перпендикуляр проведен "с другой стороны" окружности). Длины сторон его можно представить в виде 5*x; 12*x; 13*x; причем 12*x = 10; x = 5/6; Площадь S = 30*х^2; полупериметр p = 15*x; ρ = S/(p - 12*x) = 10*x = 25/3;
Формула S = (p - a)*ρ; (ρ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a и продолжений двух других сторон b и c ПРОИЗВОЛЬНОГО треугольника) совершенно аналогична формуле S = p*r; и получается точно таким же образом - надо соединить центр окружности с вершинами треугольника, и искать площадь треугольника через три получившихся треугольника, у которых высоты ρ, а основания - стороны исходного треугольника, и сразу получится S = c*ρ/2 + b*ρ/2 - a*ρ/2 = (p - a)*ρ;
рассматриваем в плоскости, усеченный конус - равнобедренная трапеция АВСД, в которою вписана окружность (шар), ВС=14, АВ=СД=10, уголА=уголД, уголВ=уголС,
в трапецию можно вписать окружность пир условии когда сумма боковых сторон=сумме оснований, АВ+СД=ВС+АД, 10+10=4+АД, АД=16, окружность касается оснований в их середине на ВС в точке К, на АД в точке Т, АТ=ТД=АД/2=16/2=8,
проводим высоты ВН и СЛ на АД, НВСЛ-прямоугольник НЛ=ВС=4, НТ=ТЛ=НЛ/2=4/2=2, треугольник АВН=треугольник ЛСД как прямоугольные по гипотенузе (АВ=СД) и острому углу (уголА=уголД), АН=ЛД=(АД-НЛ)/2=(16-4)/2=6,
треугольник АВН, ВН=высота трапеции=диаметр окружности(шара)=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате)=корень(100-36)=8, радиус шара=8/2=4, объем шара=4/3 * пи*радиус в кубе=4/3*пи*4*4*4=256пи/3
Отсеченный треугольник очевидно подобен исходному, и по условию, подобен Пифагоровому треугольнику со сторонами 5,12,13.
1) пусть 10 - это меньший катет ОТСЕЧЕННОГО треугольника. Тогда его (отсеченного треугольника) стороны равны 10, 24, 26. Нужно найти радиус ВНЕвписанной окружности, касающейся катета 10.
ПОЛУпериметр p = (10 + 24 + 26)/2 = 30; площадь S = 10*24/2 = 120;
S = ρ*(p - 10); ρ = 120/20 = 6;
2) пусть теперь 10 - это больший катет ОТСЕЧЕННОГО треугольника (это значит попросту, что перпендикуляр проведен "с другой стороны" окружности). Длины сторон его можно представить в виде 5*x; 12*x; 13*x; причем 12*x = 10; x = 5/6;
Площадь S = 30*х^2; полупериметр p = 15*x; ρ = S/(p - 12*x) = 10*x = 25/3;
Формула S = (p - a)*ρ; (ρ - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a и продолжений двух других сторон b и c ПРОИЗВОЛЬНОГО треугольника) совершенно аналогична формуле S = p*r; и получается точно таким же образом - надо соединить центр окружности с вершинами треугольника, и искать площадь треугольника через три получившихся треугольника, у которых высоты ρ, а основания - стороны исходного треугольника, и сразу получится S = c*ρ/2 + b*ρ/2 - a*ρ/2 = (p - a)*ρ;