Начертите Начертить остроугольный произвольный треугольник. Вписать в него окружность. 2. Начертить тупоугольный произвольный треугольник. Описать около него окружность. 3. Начертить произвольный треугольник. Построить точку пересечения медиан этого треугольника. 4. Начертить прямоугольный треугольник. Построить точку пересечения медиан этого треугольника. Письменно сделать вывод геометрического места точки пересечения медиан в прямоугольном треугольнике.

Трапеция АВСД, АВ=СД, АД=21, ВС=9, ВН=СК - высоты =8, уголА=уголД
треугольник АВН=треугольник КСД по гипотенузе и острому углу, АН=КД, НВСК-прямоугольник, НК=ВС=9, АН=КД=(АД-НК)/2=(21-9)/2=6
АВ=СД=корень (ВН в квадрате+АН в квадрате)=корень(64+36)=10
cosВ = АН/АВ=6/10=0,6
ВД-диагональ = корень(АВ в квадрате+АД в квадрате - 2* АВ*АД*cosВ)=
=корень(100+441-2*10*21*0,6)=17
sinВ=ВН/АВ=8/10=0,8
Радиус описанной окружности трапеции АВСД=радиусу описанной окружности треугольника АВД = ВД/2*sinB = 17/2*0.8 =10,625
Диаметр=10,625 * 2=21,25

Сходя из того, что по условию задачи любая апофема создаёт с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с высотой пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения высоты и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол. 

Данный треугольник является равнобедренным, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла равны - треугольник равнобедренный. 

Таким образом, длина стороны основания равна удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, поэтому второй катет равен высоте пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной). 

Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды равна 

a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух 

Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом 

S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух 

ответ: 64 корня из двух