Надо решить катеты прямоугольного треугольнтка равны 6 и 8 см.из вершины прямого угла проведены высота и медиана которые делят гипотенузу на три части.найти длины этих частей

1)Существует ли треугольник,две биссектриссы которого перпендикулярны?почему?
НЕТ, так как если две бисектриссы перпендикулярны, то угол между ними 90*, соответственно сумма двух углов треугольника, образованного стороной данного треугольника и биссектрисами равна 90*, значит сумма двух углов треугольника (из которых проведены биссектрисы) равна 180*, а значит это не треугольник, так как в треугольнике сумма трех углов равна 180*

2)доказать ,что биссектисса прямого угла треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла?

если треугольник прямоугольный и равнобедренный, то биссектриса прямого угла, медиана и высота совпадают,
если прямоугольный треугольник не равнобедренный, то:
угол А>45*, угол С<45*
ВК-высота, следовательно угол АВК<45*
ВЕ-биссектриса, следовательно угол АВЕ=45*
ВО-медиана, следовательно угол АВО>45* (так как ВО=АО=СО, а угол А>45*)
видно, что ВЕ лежит между ВК и ВО. Доказано.

3)Доказать ,что в прямоугольном треугольнике длины всех его сторон не могут быть нечётными числами?
так как в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то:
если длины катетов отрицательные числа, то их квадраты тоже отрицательные, а сумма двух отрицат. чисел - число положительное, следовательно длина третьей стороны будет число положительное

4)определить вид треугольника АВС, если а+h(a)=b+h(b)
прямоугольный, так как (а,в)-катеты, h(a)=в, h(в)=а

5)медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС.Угол между АМ и высотой АН равен 40 градусов.Найти углы треугольника АВС
так как АМ-медиана и равна половине стороны ВС, то треугольник АВС-прямоугольный, угол А=90*
угол АНМ=90*, так как АН-высота, угол АМН=180-90-40*=50*,
треугольник АМВ-равнобедренный, угол ВАМ=АВМ=(180-50)/2=65*,
угол С=180-90-65=25*
ответ: углы треугольника равны: А=90*, В=65*, С=25*

6)Сумма катетов в прямоугольном треугольнике равна 8.Может ли его гпотенуза равняться 5?
х - один катет
8-х второй катет
х" + (8-х)" = 25 (теорема Пифагора)
х"+64-16х+х"-25=0
2х"-16х+39=0
D=256-312 <0
решений нет
ответ: нет

7)В треугольнике АВС АС=3,ВС=4.Окружность с центром в точке А проходит через точку С и пересекает гипотенузу АВ в точке К найдите отношение длин отрезков АК и ВК?
АВ=√(АС"+ВС")=√(9+16)=5
АС=АК=3
ВК=5-3=2
АК/ВК = 3/2

8)В прямоугольном треугольнике медианы, проведённы к катетам, равны корень из 52 и корень из 73.
найдите гипотенузу?
х - катет
у - катет
z - гипотенуза
х"+(у/2)" = 52
у"+(х/2)"=73
4х"+у"=208
у"=208-4х"
208-4х"+(х/2)"=73
15х"=540
х"=36
х=6
у=8
z = √(х"+у") = √(36+64) = 10
ответ: 10

9)В прямоугольном треугольнике один из катетов больше медианы,проведённой из вершины прямого угла, на 0,5 .
найдите его площадь,если второй катет равен 4?
х - неизвестный катет
у - медиана, 
2у - гипотенуза
х = у+0,5
4 - второй катет
16+(у+0,5)" = (2у)"
16+у"+у+0,25=4у"
3у"-у-16,25=0
D=1+195=196
у=(1+14)/6=2,5
гипотенуза равна 2,5*2=5
х=3
S = 3*4/2=6
ответ: 6

10)В треугольнике АВС известны стороны АС=2, АВ=3, ВС=4.Пусть ВD- высота треугольника.
(D на прямой АС) Найти длину отрезка АD&
х - длина отрезка АД
(2-х) длина СД
ВС"-СД" = АВ"-АД"
16-(2+х)" = 9-х"
16-4-4х-х"-9+х"=0
4х=3
х=3/4
ответ: АД=3/4