надо : у трикутнику АВС дано АВ=17 см , кут А=45 , кут С 30 . Знайти сторону ВС і радіус кола , описаного навколо даного трикутника​

Треугольник АВС - осевое сечение конуса. КР - проекция окружности касания шара, ВМ - высота конуса, КЕ=R, ∠КНА=α.
Тр-ники КОЕ и НОМ подобны по трём углам (КР║АН, оба прямоугольные), ∠ЕКО=∠МОН=α.
В тр-ке КО=КЕ/cosα=R/cosα.
КО=МО - радиус шара.
В тр-ке НОМ НО=МО/sinα=R/sinα·cosα.
КН=КО+МО=R·(sinα+1)/(sinα·cosα)=2R(sinα+1)/sin2α.
В тр-ке АКН ∠А=90-α.
АО - биссектриса угла А.
В тр-ке АОМ АМ=МО/tg(45-a/2)=R/(cosα·tg(45-α/2)).
В четырёхугольнике АКОМ противолежащие углы К и М - прямые, прилежащие стороны КО и МО равны, значит он дельтоид, следовательно АМ=АК.
Треугольники АВМ и АКН равны (АМ=АК, ∠А - общий и оба прямоугольные), значит ВМ=КН.
Объём конуса: V=SH/3=π·АМ²·ВМ/3,
V=2π·R³·(sinα+1)/[3sin2α·cos²α·tg²(45-α/2)] - это ответ.

Отрезок 17 - есть длина радиуса окружности. Соединим вершины при основании с центром окружности. В полученном равнобедренном треугольнике (боковые стороны равны радиусам по построению) высота, совпадает с высотой заданного треугольника и равна 8. Она же является медианой, поэтому ее конец делит основание треугольника пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и половиной основания. В нем нам известна гипотенуза (радиус) и один из катетов (высота). Найдем второй катет, т. е половину основания по теореме Пифагора. Он равен 15.
Т.о. мы знаем высоту заданного треугольника 17+8=25 и основание 15*2=30. Легко находим площадь.