d диаметр основания конуса l образующая конуса h высота конуса d = l = 2 => осевое сечения конуса - правильный треугольник со сторонами = d 1) Площадь осевого сечения конуса s: s = h*d h = d² - (d/2)² = d² - d²/4 = 3d²/4 = 3 s = h*d = 3*2 = 6 > 1,5 ответ: не может быть = 1,5 2) сечение, параллельное основанию, площадь которого равна 1 площадь сечения, параллельное основанию = от 0 до площади основания площадь основания s: s = πr² = πd²/4 = π*2²/4 = π 1∈]0;π[ ответ: может = 1 3) Наибольшая площадь треугольного сечения s: s = 6 > 2 ответ: наибольшая площадь треугольного сечения не равна 2 4) сечения конуса площадь осевого сечения = 6 площадь основания = π ответ: не существует сечение, площадь которого = 18 5) Расстояние от центра основания конуса до образующей = (d/2)*sin60 = (2/2)√3/2 = √3/2 ответ: расстояние от центра основания конуса до образующей = √3/2 6) расстояние от вершины конуса до основания это высота h = 3 ответ: не равно 2
См. ПЕРВЫЙ чертеж. На нем все обозначения. q^2 = R^2 - (m/2)^2; p^2 = r^2 - (m/2)^2; Отсюда (2*m)^2 + (q - p)^2 = (R + r)^2; (это просто теорема Пифагора) 4*m^2 + q^2 + p^2 - 2*q*p = R^2 + r^2 + 2*R*r; 4*m^2 + R^2 + r^2 - m^2/2 - R^2 - r^2 - 2*R*r = 2*q*p; (свожу подобные и делю на 2); (7/4)*m^2 - R*r = q*p; (это возводится в квадрат); (49/16)*m^4 - 2*(7/4)*m^2*R*r + R^2*r^2 = (R^2 -m^2/4)*(r^2 - m^2/4) = = R^2*r^2 - (1/4)*m^2*(R^2 + r^2) + m^2/16; (ясно, что свободные от неизвестного m слагаемые выпадают, и степень понижается :)); 3*m^2 = (7/2)*R*r - (R^2 + r^2)/4; Собственно, это ответ. Его можно "переписывать" в каких-то иных формах, например, так m = (√3/6)*√(16*R*r - (R + r)^2); сути это не меняет. Почему эта задача вызвала такие моральные затруднения, я не понимаю. Арифметику проверяйте! :)
Мне захотелось показать несколько простых ЧУДЕС, которые зарыты в этом условии. См. ВТОРОЙ рисунок, он немного отличается от первого. Семь отличий искать не надо :). Проведена общая внутренняя касательная до пересечения с прямой. Она делит средний (из трех равных) отрезок на части x и m - x; отрезок касательной t; Ясно, что x*(x + m) = t^2 = (m - x)*(m - x + m); откуда легко найти x = m/2; то есть общая внутренняя касательная делит средний отрезок пополам. Это уже НЕЧТО, но есть и дальше :) r^2 + t^2 = p^2 + (x + m/2)^2 = r^2 - m^2/4 + m^2; t^2 = (3/4)^m^2; t = m*√3/2; к сожалению, это не сильно в поиске m :);
l образующая конуса
h высота конуса
d = l = 2 => осевое сечения конуса - правильный треугольник
со сторонами = d
1) Площадь осевого сечения конуса s:
s = h*d
h = d² - (d/2)² = d² - d²/4 = 3d²/4 = 3
s = h*d = 3*2 = 6 > 1,5
ответ: не может быть = 1,5
2) сечение, параллельное основанию, площадь которого равна 1
площадь сечения, параллельное основанию = от 0 до площади основания
площадь основания s:
s = πr² = πd²/4 = π*2²/4 = π
1∈]0;π[
ответ: может = 1
3) Наибольшая площадь треугольного сечения s:
s = 6 > 2
ответ: наибольшая площадь треугольного сечения не равна 2
4) сечения конуса
площадь осевого сечения = 6
площадь основания = π
ответ: не существует сечение, площадь которого = 18
5) Расстояние от центра основания конуса до образующей
= (d/2)*sin60 = (2/2)√3/2 = √3/2
ответ: расстояние от центра основания конуса до образующей = √3/2
6) расстояние от вершины конуса до основания
это высота h = 3
ответ: не равно 2
q^2 = R^2 - (m/2)^2;
p^2 = r^2 - (m/2)^2;
Отсюда
(2*m)^2 + (q - p)^2 = (R + r)^2; (это просто теорема Пифагора)
4*m^2 + q^2 + p^2 - 2*q*p = R^2 + r^2 + 2*R*r;
4*m^2 + R^2 + r^2 - m^2/2 - R^2 - r^2 - 2*R*r = 2*q*p; (свожу подобные и делю на 2);
(7/4)*m^2 - R*r = q*p; (это возводится в квадрат);
(49/16)*m^4 - 2*(7/4)*m^2*R*r + R^2*r^2 = (R^2 -m^2/4)*(r^2 - m^2/4) =
= R^2*r^2 - (1/4)*m^2*(R^2 + r^2) + m^2/16; (ясно, что свободные от неизвестного m слагаемые выпадают, и степень понижается :));
3*m^2 = (7/2)*R*r - (R^2 + r^2)/4;
Собственно, это ответ. Его можно "переписывать" в каких-то иных формах, например, так
m = (√3/6)*√(16*R*r - (R + r)^2);
сути это не меняет.
Почему эта задача вызвала такие моральные затруднения, я не понимаю.
Арифметику проверяйте! :)
Мне захотелось показать несколько простых ЧУДЕС, которые зарыты в этом условии. См. ВТОРОЙ рисунок, он немного отличается от первого. Семь отличий искать не надо :). Проведена общая внутренняя касательная до пересечения с прямой. Она делит средний (из трех равных) отрезок на части x и m - x; отрезок касательной t;
Ясно, что x*(x + m) = t^2 = (m - x)*(m - x + m);
откуда легко найти x = m/2;
то есть общая внутренняя касательная делит средний отрезок пополам.
Это уже НЕЧТО, но есть и дальше :)
r^2 + t^2 = p^2 + (x + m/2)^2 = r^2 - m^2/4 + m^2;
t^2 = (3/4)^m^2;
t = m*√3/2;
к сожалению, это не сильно в поиске m :);