1. пусть апофема l и угол между апофемой и плоскостью основания в 30° тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности, r = l*cos(30°) = l√3/2 Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30) r/(a/2) = tg(30°) = 1/√3 2r√3=a 2*l√3/2*√3=a 3l = a l = 1/3a Апофема равна одной трети основания Площадь боковой поверхности S = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^2 1/2 a^2 = 50 a^2 = 100 a = 10 см 2 длина малой диагонали основания по теореме косинусов l^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5 l = √5 Если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипеда l*h = √15 h = √3 Объём параллелепипеда V=1*2√2*sin(45)*h = 2√3
Есть страшное решение... Итак, ∠АСВ=30° пусть СД=ДВ = 1 В прямоугольном треугольнике АСК катет АК обозначим как х, гипотенуза АС будет в два раза больше катета, противолежащего углу в 30°, 2х катет АК = х+1 по Пифагору x^2+(x+1)^2 = 4x^2 2x^2-2x-1 = 0 x₁ = 1/2 - √3/2 - отбросим как отрицательное x₂ = 1/2 + √3/2 - а это хороший корень Теперь треугольник АКД Найдём его гипотенузу АД x^2 + x^2 = AD^2 AD^2 = 2*(1/2 + √3/2)^2 = 2*(1/4+2√3/4+3/4) =2*(1+√3/2) = 2+√3 AD = √(2+√3) Теперь треугольник АКВ. В нём КВ = х-1 = -1/2+√3/2 Найдём его гипотенузу АВ (1/2 + √3/2)^2 + (-1/2+√3/2)^2 = AВ^2 1/4+2√3/4+3/4 + 1/4-2√3/4+3/4 = АВ^2 1+1 = АВ^2 АВ = √2 И финальный удар, треугольник АВД, все три стороны нам известны, теорема косинусов для нахождения ∠ВАД = f ДВ^2 = АВ^2 + АД^2 - 2*АВ*АД*соs f 1 = 2 + 2+√3 - 2*√2*√(2+√3)*cos f 3+√3 = 2*√(4+2√3) cos f 3+√3 = 2√(1^2 + 2√3 + (√3)^2) cos f 3+√3 = 2√((1 + √3)^2) cos f 3+√3 = 2(1 + √3) cos f cos f = (3+√3) / (2(1 + √3)) = 1/2 ((3+√3) / (1 + √3)) = 1/2 ((3+√3) *(1 - √3)/ (1 + √3)*(1 - √3)) = 1/2 (3+√3-3√3-3)/(1-3) = 1/2 * 2√3 /2 = √3/2 cos f = √3/2 f = π/6 = 30° И это ответ
тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности,
r = l*cos(30°) = l√3/2
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30)
r/(a/2) = tg(30°) = 1/√3
2r√3=a
2*l√3/2*√3=a
3l = a
l = 1/3a
Апофема равна одной трети основания
Площадь боковой поверхности
S = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^2
1/2 a^2 = 50
a^2 = 100
a = 10 см
2
длина малой диагонали основания по теореме косинусов
l^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5
l = √5
Если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипеда
l*h = √15
h = √3
Объём параллелепипеда
V=1*2√2*sin(45)*h = 2√3
Итак, ∠АСВ=30°
пусть СД=ДВ = 1
В прямоугольном треугольнике АСК катет АК обозначим как х,
гипотенуза АС будет в два раза больше катета, противолежащего углу в 30°, 2х
катет АК = х+1
по Пифагору
x^2+(x+1)^2 = 4x^2
2x^2-2x-1 = 0
x₁ = 1/2 - √3/2 - отбросим как отрицательное
x₂ = 1/2 + √3/2 - а это хороший корень
Теперь треугольник АКД
Найдём его гипотенузу АД
x^2 + x^2 = AD^2
AD^2 = 2*(1/2 + √3/2)^2 = 2*(1/4+2√3/4+3/4) =2*(1+√3/2) = 2+√3
AD = √(2+√3)
Теперь треугольник АКВ. В нём КВ = х-1 = -1/2+√3/2
Найдём его гипотенузу АВ
(1/2 + √3/2)^2 + (-1/2+√3/2)^2 = AВ^2
1/4+2√3/4+3/4 + 1/4-2√3/4+3/4 = АВ^2
1+1 = АВ^2
АВ = √2
И финальный удар, треугольник АВД, все три стороны нам известны, теорема косинусов для нахождения ∠ВАД = f
ДВ^2 = АВ^2 + АД^2 - 2*АВ*АД*соs f
1 = 2 + 2+√3 - 2*√2*√(2+√3)*cos f
3+√3 = 2*√(4+2√3) cos f
3+√3 = 2√(1^2 + 2√3 + (√3)^2) cos f
3+√3 = 2√((1 + √3)^2) cos f
3+√3 = 2(1 + √3) cos f
cos f = (3+√3) / (2(1 + √3)) = 1/2 ((3+√3) / (1 + √3)) = 1/2 ((3+√3) *(1 - √3)/ (1 + √3)*(1 - √3)) = 1/2 (3+√3-3√3-3)/(1-3) = 1/2 * 2√3 /2 = √3/2
cos f = √3/2
f = π/6 = 30°
И это ответ