BF - высота к АС, АЕ - высота к ВС. Точка К - пересечение продолжений высот треугольника АВС. <OCB=60° (треугольник АВС равноведренный и АС=СВ), значит <CBА=30°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу АС. Угол АОС - центральный угол, опирающийся на дугу АС и следовательно равен 2*<CBА =60°. Итак, <OCB=<AOC=60°, а это накрест лежащие углы при прямых ВС и АО и секущей ОС. Значит СВ параллельна АО. точно так же АС параллельна ОВ. Значит АСВО - параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (ОС перпендикулярна АВ так как АВС равнобедренный треугольник), то есть РОМБ. Отсюда <OBC=60°. Но <KBC=30° (так как в прямоугольном треугольнике BCF <BCF=60°(смежный с <ACB=120°). Значит треугольник ОВК прямоугольный с углом ОВК=90° и <OKB=30° (так как <ABK=60°). В прямоугольном треугольнике ОКВ против угла 30° лежит катет ОВ, равный радиусу вписанной окружности, следовательно, гипотенуза ОК=2*ОВ, то есть равна диаметру этой окружности, что и требовалось доказать.
Положим что это верно , то есть делить , точки касания , тогда и вторая диагональ делить из-за того что трапеция равнобедренная . Продлим за точки , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим что прямая проведенная с вершины треугольника , будет делить на , но так как , то и и точки пересечения диагоналей и будут пересекаться в одной точке ,а значит изначальное условие было верно .
Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники , два из которых подобны , если большее основание и меньшее равны тогда высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями . Получим То есть основания относятся как
<OCB=60° (треугольник АВС равноведренный и АС=СВ), значит <CBА=30°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу АС. Угол АОС - центральный угол, опирающийся на дугу АС и следовательно равен 2*<CBА =60°. Итак, <OCB=<AOC=60°, а это накрест лежащие углы при прямых ВС и АО и секущей ОС. Значит СВ параллельна АО. точно так же АС параллельна
ОВ. Значит АСВО - параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (ОС перпендикулярна АВ так как АВС равнобедренный треугольник), то есть РОМБ. Отсюда <OBC=60°. Но <KBC=30° (так как в прямоугольном треугольнике BCF <BCF=60°(смежный с <ACB=120°).
Значит треугольник ОВК прямоугольный с углом ОВК=90° и <OKB=30° (так как <ABK=60°). В прямоугольном треугольнике ОКВ против угла 30° лежит катет ОВ, равный радиусу вписанной окружности, следовательно, гипотенуза ОК=2*ОВ, то есть равна диаметру этой окружности, что и требовалось доказать.
Продлим
Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники , два из которых подобны , если большее основание и меньшее равны
То есть основания относятся как