Геометрия: Найдите неизвестные углы. 1 и 3 номера. 20

Пусть - длины сторон и медиан треугольника ABC, Воспользовавшись формулу и то, что , получаем, что нужно доказать неравенство. Подставив вместо р и r, получимУпрощать здесь не буду, но напишу упрощенныйИли имеем такое равенство: Пусть расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что Также имеем. Аналогично, Достаточно доказать неравентсво , которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел: ...

Найдите неизвестные углы. 1 и 3 номера. 20

Показать ответ

Ответ:

Xmitejr

02.04.2022 07:25

Пусть $a,\,b,\,c,\,m_a,\,m_b,\, m_c$ - длины сторон и медиан треугольника ABC, $S_{ABC}=S.$ Воспользовавшись формулу S=pr

и то, что $S_{GBC}=S_{GAB}=S_{GAC}= \frac{S}{3}$ , получаем, что нужно доказать неравенство.
Подставив вместо р и r, получим
$\frac{3a+2(m_b+m_c)}{2S} + \frac{3b+2(m_a+m_b)}{2S} + \frac{3c+2(m_a+m_b)}{2S} \geq \frac{3(a+b+c)}{2S} + \frac{36}{a+b+c}$
Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный
$\frac{m_a+m_b+m_c}{S} \geq \frac{6S}{a+b+c}$
Или имеем такое равенство: $\frac{m_a}{3} + \frac{m_b}{3}+ \frac{m_c}{3} \geq \frac{6S}{a+b+c}$

Пусть $d_a,\, d_b,\, d_c-$ расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что $d_a \leq \frac{m_a}{3} ,\,d_b \leq \frac{m_b}{3} ,\, d_c= \frac{m_c}{3}$ Также имеем $d_a= \frac{2S_{GBC}}{a} = \frac{2S}{3a}$ . Аналогично, $d_b= \frac{2S}{3b} ,\,\, d_c= \frac{2S}{3c}$

Достаточно доказать неравентсво $\frac{2S}{3a} + \frac{2S}{3b}+ \frac{2S}{3c} \geq \frac{6S}{a+b+c}$ , которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел:
$\frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} }$

0,0(0 оценок)

Ответ:

sokolin2

29.05.2022 03:50

Вообще просто. Так как известно что стороны в четыре раза меньше - тогда получается, что отсечен подобный треугольник с коэффициентом подобия = 1/4. А есть такое замечательное свойство, что высота у подобных треугольников отличается на коэффициент подобия. А так как искомая величина - площадь = основание*высоту/2 то при перемножении коэффициент подобия перемножится и составит 1/16. Таким образом, площадь маленького отсеченного треугольника составит 1/16 от большого. Трапеция при этом - оставшаяся часть = 15/16=30. Отсюда следует, что 1/16 = 2.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия