Центр шара лежит в точке, равноудалённой от сторон треугольника, образуя вместе с вершинами треугольника треугольную пирамиду с равными апофемами. апофемы равны, значит основание высоты пирамиды лежит в центре вписанной в основание пирамиды окружности. площадь основания можно вычислить по формуле герона: s=√(p(p-a)(p-b)(p- где р=(a+b+c)/2. подставив числовые значения a=13, b=14 и с=15 получим s=84 см. радиус вписанной окружности: r=s/p=2s/(a+b+c). r=2·84/(13+14+15)=4 см. высота пирамиды, проведённая к данному треугольнику - это расстояние от центра шара до треугольника. в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и найденным радиусом, высота по теореме пифагора равна: h=√(l²-r²), где l- апофема пирамиды (равна радиусу шара). h=√(5²-4²)=3 см - это ответ.
Находим угол АОВ с учетом того, что АО и
OB - биссектрисы углов А и В (по свойству
центра вписанной окружности):
AOB = 180-(1/2)А-(1/2)B = 180-((V2)(A+B)) =
180-((1/2)(180-60) =
= 180-90+30 = 120°.
Зная 2 стороны и угол, находим сторону AB
треугольника АОВ:
AB =V(6°+102-2*6*10*cos120)
= V36+100-120*(-1/2) = V196 = 14 см.
Зная стороны треугольника АОВ, находим
углы А и В (А = 2*BAO, B =2*АВО) по теореме
Синусов.
sin BAO = sin120*10/14 =
0.866025*10/14 =
0.6185896º.
Угол BAO = arc sin
0.6185896 = 0.6669463 радиан =
38.213211°
Угол А= 2*0.3802512 радиан = 21.786789°.
Угол B = 2*
21.786789=
43.573579º.
Зная углы треугольника ABC и одну сторону
AB = 14 см, находим 2 другие по теореме
Синусов:
BC = 14*sin A/sin C = 14*
0.972069/
0.866025 =
15.71428571 CM.
AC = 14*sin B /sin C = 14*
0.6892855 / 0.866025 =
11.14285714 см.
Находим площадь треугольника АВС по
формуле Герона:
S= V(p(p-a)(p-b)(p-c) =
75.82141 см2.
Здесь р= (а+в+с)/2 =
20.428571 см.
Радиус описанной окружности R = abc / 4S =
8.0829038 CM.