Биссектриса AZ 1. Длины сторон AB = √((-12-4)²+(-2-10)²) = 20 AC = √((-12+6)²+(-2+10)²) = 10 BC = √((4+6)²+(10+10)²) = 10√5 2. Биссектриса делит пересекаемую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам BZ/CZ = AB/AC = 20/10 = 2 BZ = 2*CZ BZ+CZ = 10√5 3*CZ = 10√5 CZ = 10/3√5 уравнение прямой СB в параметрической форме x = -6+(4+6)t = -6 + 10t y = 10 причём при t=0 получаем точку С, при t=1 - точку B а при t = 1/3 - получим точку Z x = -6 + 10*1/3 = - 8/3 y = 10 Z(-8/3;10) и уравнение прямой AZ (x+8/3)/(-12+8/3) = (y-10)/(-2-10) или -3x/28 + y/12 - 47/42 = 0
Ваш первый вопрос: ------------------ Как доказать что медианы двух треугольников которые вписаны в произвольный шестиугольник пересекаются в одной точке? ------------------ и ответ - никак. Медианы треугольников, построенных на сторонах шестиугольника НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ в одной точке. Если рассматривать треугольники, просто вписанные в шестиугольник, с рёбрами, не совпадающими с рёбрами шестиугольника, то всё ещё хуже для пересечения медиан. ------------------------------------------------------ Ваш второй вопрос: Как доказать что медианы двух треугольников, вершины которых совпадают с серединами сторона произвольного шестиугольника пересекаются в одной точке? ------------------ и снова - никак. медианы разных треугольников не пересекаются в одной точке ----------------------------------------------------- Теперь ваш третий вопрос, на случай, если вам снова захочется изменить условие задачи. Есть точки вершин шестиугольника A₁..A₆ Есть точки середин рёбер шестиугольника B₁..B₆ На них построены два треугольника. B₁B₃B₅ и B₂B₄B₆ Точки пересечения медиан треугольников P и Q Доказать, что P = Q Воспользуемся координатым методом. Координаты центра пересечения медиан первого треугольника P = 1/3(B₁+B₃+B₅) Для второго треугольника Q = 1/3(B₂+B₄+B₆) Координаты середин сторон шестиугольника B₁ = 1/2(A₁+A₂) B₂ = 1/2(A₂+A₃) B₃ = 1/2(A₃+A₄) B₄ = 1/2(A₄+A₅) B₅ = 1/2(A₅+A₆) B₆ = 1/2(A₆+A₁) И координаты P и Q, выраженные через вершины шестиугольника P = 1/3(1/2(A₁+A₂)+1/2(A₃+A₄)+1/2(A₅+A₆)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆) Q = 1/3(1/2(A₂+A₃)+1/2(A₄+A₅)+1/2(A₆+A₁)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆) Готово :) P = Q
1. Длины сторон
AB = √((-12-4)²+(-2-10)²) = 20
AC = √((-12+6)²+(-2+10)²) = 10
BC = √((4+6)²+(10+10)²) = 10√5
2. Биссектриса делит пересекаемую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам
BZ/CZ = AB/AC = 20/10 = 2
BZ = 2*CZ
BZ+CZ = 10√5
3*CZ = 10√5
CZ = 10/3√5
уравнение прямой СB в параметрической форме
x = -6+(4+6)t = -6 + 10t
y = 10
причём при t=0 получаем точку С, при t=1 - точку B
а при t = 1/3 - получим точку Z
x = -6 + 10*1/3 = - 8/3
y = 10
Z(-8/3;10)
и уравнение прямой AZ
(x+8/3)/(-12+8/3) = (y-10)/(-2-10)
или
-3x/28 + y/12 - 47/42 = 0
------------------
Как доказать что медианы двух треугольников которые вписаны в произвольный шестиугольник пересекаются в одной точке?
------------------
и ответ - никак.
Медианы треугольников, построенных на сторонах шестиугольника НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ в одной точке.
Если рассматривать треугольники, просто вписанные в шестиугольник, с рёбрами, не совпадающими с рёбрами шестиугольника, то всё ещё хуже для пересечения медиан.
------------------------------------------------------
Ваш второй вопрос:
Как доказать что медианы двух треугольников, вершины которых совпадают с серединами сторона произвольного шестиугольника пересекаются в одной точке?
------------------
и снова - никак. медианы разных треугольников не пересекаются в одной точке
-----------------------------------------------------
Теперь ваш третий вопрос, на случай, если вам снова захочется изменить условие задачи.
Есть точки вершин шестиугольника A₁..A₆
Есть точки середин рёбер шестиугольника B₁..B₆
На них построены два треугольника. B₁B₃B₅ и B₂B₄B₆
Точки пересечения медиан треугольников P и Q
Доказать, что P = Q
Воспользуемся координатым методом.
Координаты центра пересечения медиан первого треугольника
P = 1/3(B₁+B₃+B₅)
Для второго треугольника
Q = 1/3(B₂+B₄+B₆)
Координаты середин сторон шестиугольника
B₁ = 1/2(A₁+A₂)
B₂ = 1/2(A₂+A₃)
B₃ = 1/2(A₃+A₄)
B₄ = 1/2(A₄+A₅)
B₅ = 1/2(A₅+A₆)
B₆ = 1/2(A₆+A₁)
И координаты P и Q, выраженные через вершины шестиугольника
P = 1/3(1/2(A₁+A₂)+1/2(A₃+A₄)+1/2(A₅+A₆)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆)
Q = 1/3(1/2(A₂+A₃)+1/2(A₄+A₅)+1/2(A₆+A₁)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆)
Готово :)
P = Q