Плоскость пересекает противоположные грани куба по параллельным прямым. А1Д║В1С. Построим отрезок МК║А1Д. В тр-ке АА1Д МК - средняя линия, значит АМ=А1М и МК=А1Д/2. Диагональ квадрата А1Д=а√2, МК=а√2/2. Тр-ки МА1В1 и СДК равны т.к. А1В1=СД, А1М=КД и оба прямоугольные, значит МВ1=СК. В равнобедренной трапеции B1CКМ проведём высоту МР. В1Р=(В1С-МК)/2=(а√2-а√2/2)/2=а√2/4. В прямоугольном тр-ке МА1В1 МВ1²=А1В1²+МА1²=а²+а²/4=5а²/4. В прямоугольном тр-ке МВ1Р: МР²=МВ1²-В1Р²=(5а²/4)-(2а²/16)=(10а²-а²)/8=9а²/8, МР=3а/2√2=3а√2/4. Площадь трапеции В1СKM: S=МР·(В1С+КМ)/2=3а√2·(а√2+а√2/2)/8=3а√2·3а√2/16=18а²/16=9а²/8(ед²) - это ответ.
CC₁ = 3,5 см.
Объяснение:
1) Теорема: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна. ⇒ Прямые AB и AB₁ лежат в одной плоскости.
2) Аксиома: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
По условию точки A, B₁ и C₁ принадлежат плоскости ΔABB₁ и плоскости α. ⇒ Точки A, B₁ и C₁ лежат на одной прямой AB₁.
3) Отрезок CC₁ ║BB₁ по условию. Тогда ΔABB₁ подобен ΔACC₁ по двум углам: ∠A общий, ∠ACC₁ = ∠ABB₁ как соответствующие при CC₁ ║BB₁ и секущей AB₁ .
Из подобия треугольников следует:
AB / AC = BB₁ / CC₁;
На отрезок AB приходится 7 частей (5+2=7), на отрезок AC приходится 5 частей по условию.
7 / 5 = 4,9 см / CC₁; CC₁ = (4,9 см * 5 ) / 7 = 0,7 см * 5 = 3,5 см.
CC₁ = 3,5 см.
А1Д║В1С. Построим отрезок МК║А1Д. В тр-ке АА1Д МК - средняя линия, значит АМ=А1М и МК=А1Д/2.
Диагональ квадрата А1Д=а√2, МК=а√2/2.
Тр-ки МА1В1 и СДК равны т.к. А1В1=СД, А1М=КД и оба прямоугольные, значит МВ1=СК.
В равнобедренной трапеции B1CКМ проведём высоту МР.
В1Р=(В1С-МК)/2=(а√2-а√2/2)/2=а√2/4.
В прямоугольном тр-ке МА1В1 МВ1²=А1В1²+МА1²=а²+а²/4=5а²/4.
В прямоугольном тр-ке МВ1Р:
МР²=МВ1²-В1Р²=(5а²/4)-(2а²/16)=(10а²-а²)/8=9а²/8,
МР=3а/2√2=3а√2/4.
Площадь трапеции В1СKM:
S=МР·(В1С+КМ)/2=3а√2·(а√2+а√2/2)/8=3а√2·3а√2/16=18а²/16=9а²/8(ед²) - это ответ.