1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 15см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат. Решение. По Пифагору найдем второй катет основания призмы: √(15²-12²)=√(27*3)=9см. Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано). Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы. Sб=36*12=432см².
2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ. Решение. Условие для однозначного решения не полное. Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2". Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его? Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины? Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN). Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ. Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.
Задача: В треугольнике KPE сторона PE = 6. На стороне KE отмечена точка F так, что PF = KP = 3√3, FE = 3. Найти углы ΔKPE.
Р-м ΔPEF:
Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон, такой треугольник прямоугольный.
PE² = PF²+EF²
6² = (3√3)²+3²
36 = 27+9
36=36
ΔPEF — прямоугольный, ∠F = 90°
Если один из катетов равен половине гипотенузе, он лежит напротив угла 30°
FE = PE/2 = 3 ⇒ ∠FPE = 30°, тогда ∠PEF(E) = 60° (по теореме о сумме углов Δ).
Р-м ΔKPF:
∠PKF(K) = ∠FPK — из следствия равнобедренного треугольника (PF = KF)
∠PFK = 90° — как смежный с ∠PFE ⇒ ΔKPF — прямоугольный
∠PKF(K)+∠FPK = 180−∠PFK = 180−90 = 90°
∠PKF(K) = ∠FPK = 90/2 = 45°
Р-м ΔKPE:
∠K = 45°, ∠E = 60° ⇒ ∠P = 180−(∠K+∠E) = 180−(45+60) = 180−105 = 75°
ответ: ∠K = 45°, ∠E = 60°, ∠P = 75°.
Решение.
По Пифагору найдем второй катет основания призмы:
√(15²-12²)=√(27*3)=9см.
Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано).
Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы.
Sб=36*12=432см².
2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ.
Решение.
Условие для однозначного решения не полное.
Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2".
Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его?
Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины?
Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN).
Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ.
Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.