2) Из вершины D продлим сторону до пересечения на продлении стороны BC, так что AB ║ DE, т.е. ABED — параллелограмм.
∠A = ∠E = 60° (противоположные углы у параллелограмма равны)
Так как AB = CD ⇒ ED = CD ⇒ ∠ECD = ∠CED = ∠CDE = 60°, т.е. треугольник CDE — равносторонний ⇒ CD = CE = ED = 32
Тогда AD = BC + CE = 20 + 32 = 52
P = 20 + 32 + 32 + 52 = 136
Рисунок 2.
Аналогично решению из рисунка 1, достроим до параллелограмма ADEB, AD ║ EB, мы имеем что ΔCEB - равносторонний, т.е. CE = CB = EB = 20, тогда CD = AB - CE = 32 - 20 = 12.
P = 12 + 20 + 20 + 32 = 84
3)
Дано: равнобедренная трапеция АВСD.
АВ=СD.
Меньшее основание ВС=15 см. Большее основание AD=49 см. Острые углы D=A=60° (трапеция равнобедренная).
Найти: периметр трапеции Р=?
Опустим перпендикуляры к большему основанию СN и ВM. МN=BC=15 cм, АМ=АN=(49-15):2=17 см.
Если гипотенуза АВ параллельна оси Ох, то точки А и В - противоположные. A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1 Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1 |AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 |BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 По теореме Пифагора |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2 x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0 2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0 x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0 (y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2 Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2 (x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2 Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1. (x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1 Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит, y1 - y2 = 1 Но разность ординат - это и есть высота треугольника.
2) Из вершины D продлим сторону до пересечения на продлении стороны BC, так что AB ║ DE, т.е. ABED — параллелограмм.
∠A = ∠E = 60° (противоположные углы у параллелограмма равны)
Так как AB = CD ⇒ ED = CD ⇒ ∠ECD = ∠CED = ∠CDE = 60°, т.е. треугольник CDE — равносторонний ⇒ CD = CE = ED = 32
Тогда AD = BC + CE = 20 + 32 = 52
P = 20 + 32 + 32 + 52 = 136
Рисунок 2.
Аналогично решению из рисунка 1, достроим до параллелограмма ADEB, AD ║ EB, мы имеем что ΔCEB - равносторонний, т.е. CE = CB = EB = 20, тогда CD = AB - CE = 32 - 20 = 12.
P = 12 + 20 + 20 + 32 = 84
3)
Дано: равнобедренная трапеция АВСD.
АВ=СD.
Меньшее основание ВС=15 см. Большее основание AD=49 см. Острые углы D=A=60° (трапеция равнобедренная).
Найти: периметр трапеции Р=?
Опустим перпендикуляры к большему основанию СN и ВM. МN=BC=15 cм, АМ=АN=(49-15):2=17 см.
Рассмотрим треугольник АВМ. Угол А=60°, следовательно угол В=30°, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника=90°.
Катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит АВ = 2·АМ = 2*17=34 см.
Теперь известны все стороны трапеции АВ=СD=34см, ВС=15см, АD=49см.
Р=34*2+15+49=132 см.
4) На фото.
7) На Фото
8)
DC║KB - как отрезки лежащие на основании трапеции.
DK║CB - по условию, поэтому DCBK - параллелограмм, значит DK=CB и ∠KBC=∠KDC=∠2; ∠AKD=∠KBC - как соответственные.
∠DAB=∠ABC - как углы при основании трапеции. В итоге в ΔADK все 3 угла равны, значит он равносторонний.
KB=DC=14,15 см как противоположные стороны параллелограмма.
AK=AB-KB=27,65см - 14,15 см=13,5 см. AD=AK=13,5 см - как стороны равностороннего треугольника. AD=BC - по условию.
P(ABCD) = AB+BC+CD+DA = 27,65см+13,5см+14,15см+13,5см = 41,8см+27см = 68,8см
8)
A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1
Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1
|AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2
|BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2
По теореме Пифагора
|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2
(x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2
x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0
2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0
x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0
(y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2
Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2
(x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2
Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1.
(x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1
Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит,
y1 - y2 = 1
Но разность ординат - это и есть высота треугольника.