Геометрия: Найдите углы правильного сорокаугольника

Найдите углы правильного сорокаугольника

Показать ответ

Ответ:

blrikiog

26.10.2020 05:59

Пусть О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Треугольники AOP и BOM подобны по двум углам (два угла равны по условию, еще два угла вертикальные). Тогда:
$\frac{AO}{OB} = \frac{PO}{OM}$
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то:
$\frac{ \frac{2}{3} AM}{ \frac{2}{3} BP} = \frac{\frac{1}{3}BP}{\frac{1}{3}AM}
\\\
\frac{ AM}{ BP} = \frac{BP}{AM}
\\\
AM^2=BP^2
\\\
\Rightarrow AM=BP=1$
Если медианы, проведенные к двум сторонам треугольника равны, то и сами стороны также равны. Значит, АС=ВС и треугольник АВС равнобедренный.
Рассмотрим треугольник АМС. По теореме косинусов, учитывая соотношение АС=2СМ, получим:
$AM^2=AC^2+CM^2-2\cdot AC\cdot CM\cdot\cos ACB
\\\
1^2=(2CM)^2+CM^2-2\cdot 2CM\cdot CM\cdot0.8
\\\
1=4CM^2+CM^2-3.2CM^2
\\\
1=1.8CM^2
\\\
CM^2= \frac{1}{1.8} = \frac{5}{9} 
\\\
CM= \frac{ \sqrt{5} }{3}$
Следовательно стороны в два раза больше: $AC=BC= \frac{2 \sqrt{5} }{3}$
Тогда площадь треугольника найдем как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними:
$S= \frac{1}{2} \cdot AC\cdot BC\cdot \sinACB
\\\
S= \frac{1}{2} \cdot AC^2\cdot \sqrt{1-\cos ACB} 
\\\
S= \frac{1}{2} \cdot ( \frac{2 \sqrt{5} }{3})^2\cdot \sqrt{1-0.8}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4\cdot5 }{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{3}$
ответ: 2/3

0,0(0 оценок)

Ответ:

drazzgaming

10.11.2022 01:57

Вместо неудобного четырёхугольника KBCH (s = 3) вычислим площадь треугольника АКН (s = 4-3 = 1), дополняющего KBCH до большого треугольника ABC (s = 4)
--------------
Пусть основание треугольника АВС = 2а
И угол при основании Ф
АР = а
АН = а*cos Ф
КН = а*sin Ф
s(АКН) = 1/2 a^2*sin Ф*cos Ф = 1
--------------------
Теперь вычислим площадь треугольника АВС
Высота треугольника ВР
ВР/АР = tg Ф
ВР = а*tg Ф
Основание АС = 2а
s(АВС) = 1/2*2а*а*tg Ф = а^2*tg Ф = 4
---------------
Осталось решить систему уравнений
1/2 a^2*sin Ф*cos Ф = 1
а^2*tg Ф = 4
разделим первое на второе
1/2 sin Ф*cos Ф / tg Ф = 1/4
sin Ф*cos Ф / (sin Ф/cos Ф) = 1/2
cos^2 Ф = 1/2
cos Ф = 1/√2
Ф = 45°

Выручайте(( окружность, вписанная в равнобедренный треугольник abc площадью 4, касается стороны ab в