Найдите высоту цилиндра, в котором диагональ сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 дм от нее, в два раза длин нее радиуса основания.

Очевидно , высота равна 4. Деествительно, треугольник из вершины пирамиды, центра основания и любой вершины основания - прямоугольный, с углом 30 градусов при основании. Противоположный катет ( высота пирамиды) равен половине гипотенузы ( боковое ребро) и ,стало быть, равен 4. По тереме Пифагора, половина диагонали квадрата основания вычисляется и равна  4sqrt(3). . Сторона основания, тоже по теореме П. ,равна 4sqrt(6). Площадь основания 96. Высота боковой грани ( все по той же теореме П.)
sqrt(64-4*6)=sqrt(40). Площадь боковой грани 1/2*sqrt(40) *4*sqrt(6)=2*sqrt(40*6) =8*sqrt(15).  Площадь боковой поверхности : 96+32*sqrt(15)
ответ: Высота 4,Площадь боковой поверхности : 96+32*sqrt(15)
sqrt(.) - означает взятие корня квадратного.

Априори, здесь возможны два случая - внешний угол является смежным с одним из двух углов при основании равнобедренного треугольника или с третьим углом, который лежит напротив основания.

Допустим, внешний угол является смежным с одним из углов при основании. Тогда соответствующий угол при основании равен 180-80=100 градусов. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то другой угол при основании тоже будет равен 100 градусов. Очевидно, что данный случай невозможен, так как угол, равный 100 градусам является тупым, а в треугольнике не может быть больше одного тупого угла.

Следовательно, данный нам внешний угол является смежным с внутренним углом треугольника, который лежит против основания. Значит, соответствующий внутренний угол треугольника равен 180-80=100 градусов. Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов, значит, сумма двух углов при основании равна 180-100=80 градусов. Так как углы при основании равны, то каждый из них равен 80:2=40 градусов.

ответ: углы треугольника равны 100 градусов, 40 градусов и 40 градусов.