Найдите высоту треугольной пирамиды, боковые рёбра которой 2,3 и 4 и попарно перпендикулярны.

Так как боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны, то проще её представить с этими рёбрами по осям координат, а вершину в начале координат.

Пусть SA по оси Oz, SB по оси Oy, SC по оси Ox.

Координаты вершин: A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0), S(0; 0; 0).

Находим векторы: SA(0; 0; 2), SB(0; 4; 0), SC(3; 0; 0).

Их смешанное произведение равно:

0      0     2|     0      0

0     4      0|     0      4

3     0      0|     3      0 = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 24 = -24.

Объём пирамиды равен V = (1/6)|-24| = 4 куб.ед.

Находим векторы по точкам A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0)

AB = (0; 4; -2), модуль равен √(0² + 4² + (-2)²) = √20 = 2√5.

AC = (3; 0; -2), модуль равен √(3² + 0² + (-2)²) = √13.

Определим площадь треугольника АВС как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

i         j        k|       i        j

0      4       -2|      0      4

3       0      -2|      3      0 = -8i - 6j + 0k - 0j - 0 i - 12k = -8i - 6j - 12k.

S = (1/2)√((-8)² + (-6)² + (-12)²) = (1/2)√(64+36+144) = (1/2)√244 = √61 кв. ед.

Можно получить ответ по формуле:

H = 3V/S = 3*4/√61 =  12/√61 = 12√61/61 ≈ 1,536.