Во первых, этот угол от величины ребра не зависит.
Угол этот равен 90°.
Это можно доказать кучей
1)
Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D - правильный тетраэдр. Поэтому проекция точки С1 на плоскость A1BD - это центр правильного треугольника A1BD - пусть это точка Q1.
У пирамиды AA1BD основание A1BD - правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). Поэтому проекция точки A на плоскость A1BD - это центр правильного треугольника A1BD - точка Q1. Поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости A1BD и проходящая через заданную точку Q1 - центр треугольника A1BD, то AC1 перпендикулярно плоскости A1BD, а - значит - и любой прямой в этой плоскости, в том числе A1B.
2)
пусть вектора AD = i; AB = j; AA1 = k; - три ортогональных вектора, равных по величине.
Тогда А1B = j - k; AC1 = i + j + k;
(или, в координатном представлении
A1B = (0,1,-1); AC1 = (1,1,1);
длина ребра принята за 1)
Легко видеть, что скалярное произведение этих векторов равно 0 + 1 - 1 = 0,
то есть они перпендикулярны.
3)
для [...]
Если продлить DC за вершину С на расстояние, равное ребру куба, и соединить полученную точку Е с точкой С1, то очевидно, что C1E II D1C, а D1C II A1В, поэтому искомый угол - это угол АС1Е в треугольнике AC1E, стороны которого равны (если ребро равно 1, если ребро равно 7, то все длины просто в 7 раз больше)
Во первых, этот угол от величины ребра не зависит.
Угол этот равен 90°.
Это можно доказать кучей
1)
Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D - правильный тетраэдр. Поэтому проекция точки С1 на плоскость A1BD - это центр правильного треугольника A1BD - пусть это точка Q1.
У пирамиды AA1BD основание A1BD - правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). Поэтому проекция точки A на плоскость A1BD - это центр правильного треугольника A1BD - точка Q1. Поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости A1BD и проходящая через заданную точку Q1 - центр треугольника A1BD, то AC1 перпендикулярно плоскости A1BD, а - значит - и любой прямой в этой плоскости, в том числе A1B.
2)
пусть вектора AD = i; AB = j; AA1 = k; - три ортогональных вектора, равных по величине.
Тогда А1B = j - k; AC1 = i + j + k;
(или, в координатном представлении
A1B = (0,1,-1); AC1 = (1,1,1);
длина ребра принята за 1)
Легко видеть, что скалярное произведение этих векторов равно 0 + 1 - 1 = 0,
то есть они перпендикулярны.
3)
для [...]
Если продлить DC за вершину С на расстояние, равное ребру куба, и соединить полученную точку Е с точкой С1, то очевидно, что C1E II D1C, а D1C II A1В, поэтому искомый угол - это угол АС1Е в треугольнике AC1E, стороны которого равны (если ребро равно 1, если ребро равно 7, то все длины просто в 7 раз больше)
A1C = √(1^2 + 1^2 +1^2) = √3; С1E = A1B = √2; AE = √(1^2 + 2^2) = √5;
Легко видеть, что A1C^2 + C1E^2 = AE^2; то есть это прямоугольный треугольник, и искомый угол - прямой.