1) Дана трапеция АВСД. ВС+АД = 9, АС = 5, ВД = √34. Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1. cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5. Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5. Тогда искомая площадь равна: S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41. Найти её площадь и выяснить: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25. Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции). Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х. По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)². Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей. 244 - х² = 369 -625 + 50х - х². 50х = 500. х = 500/50 = 10. Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой. Сторона АВ = Н = 12. Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13. ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед. По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2. Поэтому площадь заданной трапеции равна: S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.
Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1.
cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5.
Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5.
Тогда искомая площадь равна:
S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41.
Найти её площадь и выяснить: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность?
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25.
Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции).
Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х.
По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)².
Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей.
244 - х² = 369 -625 + 50х - х².
50х = 500.
х = 500/50 = 10.
Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой.
Сторона АВ = Н = 12.
Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед.
По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2.
Поэтому площадь заданной трапеции равна:
S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.
ABK - прямоугольный треугольник с углом 30°
AK=BK√3 <=> BK =AK/√3 =4√3/3 (см)
S(ABCD)= AD*BK =10*4√3/3 =40√3/3 ~23,09 (см)
-----------------------------------------------------------------------
*) △ABC, ∠A=30°, ∠B=60°, ∠C=90°, CM - медиана.
CM=AB/2=MB (медиана из прямого угла равна половине гипотенузы)
△CMB - равносторонний (равнобедренный (CM=MB) с углом 60°)
BC=MB=AB/2
AB^2 =BC^2 +AC^2 <=>
AB^2 =AB^2/4 +AC^2 <=>
AC =√(3AB/4) =AB√3/2 =BC√3
BC : AC : AB =
BC : BC√3 : 2BC =
1 : √3 : 2