Ной 4.
В окружность с радиусом 23 см вписан правильный треугольник.
а) найдите сторону треугольника
в) вычислите площадь круга вписанного в этот треугольник
[3]​

Проведем АН - биссектрису угла А.  Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника),  <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем  КН параллельно АС.  

KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:  

КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).  

Итак, DM= BH*Cosα.   В треугольнике АВН по теореме синусов:

BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α.  => AB=BH*Sin2α/Sinα.

Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα  =>

АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.

DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2.  => DM=2AB, что и требовалось доказать.

Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:

а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.

б) уравнение медианы BM.  

Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).

Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).

Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.

Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.

И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).

в) cos угла BCA.  

Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.

Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.

cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.

г) уравнение высоты CD.

Находим уравнение стороны АВ.

Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).

Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).

Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.

0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.  

Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).

д) длина высоты СD.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2

Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:  

2х – 5у + 9 = 0.

d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =

= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.

е) площадь треугольника АВС по векторам.

Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:

S= ± (1 /2) *(x1−x3       y1−y3 )

                       (x2−x3      y2−y3 )  

 x1−x3       y1−y3  

        x2−x3      y2−y3    

A(−2,1), B(3,3), С(1,0).

S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.