Нужна основанием четырёхугольной пирамиды является ромб с острым углом α и меньшей диагональю а. все двугранные углы при основании пирамиды равны β. найдите: 1) площадь полной поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.
Пусть — четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб Меньшая диагональ ромба и острый угол высота пирамиды, значит, , следовательно так как — проекция на плоскость ⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП) , следовательно, — линейный угол двугранного угла при ребре так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть
Найти:
Решение. Ромб состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников:
Рассмотрим
Значит, диагональ
Рассмотрим
Высота ромба
Площадь основания пирамиды
Рассмотрим
Определим площадь треугольника
Из-за того, что у ромба все стороны равны и все двугранные углы при основании равны, то все боковые грани пирамиды будут тоже равны. Следовательно, площадь боковой поверхности
Теперь, зная площадь основания и боковой поверхности пирамиды можно найти площадь полной поверхности:
ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна высота пирамиды равна
Пусть
— четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб
Меньшая диагональ ромба
и острый угол ![\angle BAD = \alpha.](/tpl/images/0941/9533/30cd3.png)
высота пирамиды, значит,
, следовательно
так как ![OK \in (ABCD),](/tpl/images/0941/9533/0f2f1.png)
— проекция
на плоскость ![(ABCD),](/tpl/images/0941/9533/d5e94.png)
⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП)
, следовательно,
— линейный угол двугранного угла при ребре
так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть ![OK = r.](/tpl/images/0941/9533/8b87d.png)
Найти:![1) \ S_{_{\Pi}} - ? \ 2) \ SO - ?](/tpl/images/0941/9533/879ae.png)
Решение. Ромб
состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников: ![\triangle AOD = \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD.](/tpl/images/0941/9533/fe4d5.png)
Рассмотрим![\triangle AOD (\angle AOD = 90^{\circ}):](/tpl/images/0941/9533/2dfa7.png)
Значит, диагональ![AC = 2AO = \dfrac{2a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}](/tpl/images/0941/9533/0af54.png)
Рассмотрим![\triangle COD (\angle COD = 90^{\circ}):](/tpl/images/0941/9533/125e1.png)
Высота ромба![BM = 2OK = \dfrac{2a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} }{2} = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}](/tpl/images/0941/9533/05277.png)
Площадь основания пирамиды![S_{_{\text{O}}} = BO \ \cdotp CD = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} \ \cdotp \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2}](/tpl/images/0941/9533/adf77.png)
Рассмотрим![\triangle SOK (\angle SOK = 90^{\circ}):](/tpl/images/0941/9533/1b08b.png)
Определим площадь треугольника![SDC:](/tpl/images/0941/9533/91588.png)
Из-за того, что у ромба все стороны равны и все двугранные углы при основании равны, то все боковые грани пирамиды будут тоже равны. Следовательно, площадь боковой поверхности![S_{_{\text{B}}} = 4S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{4a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta}](/tpl/images/0941/9533/c51ef.png)
Теперь, зная площадь основания и боковой поверхности пирамиды можно найти площадь полной поверхности:
ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна
высота пирамиды равна ![\dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}.](/tpl/images/0941/9533/50522.png)