Войти Регистрация Спроси ai-bota

Нужно пошаговое решение! доказать, что во всяком треугольнике abc между его площадью s и радиусами вписанной и описанной окружности существует соотношение

Показать ответ

Ответ:

dianamihalenko9

19.08.2020 13:01

Для любого треугольника справедливы формулы
(a,b,c - стороны, р - полупериметр)

$S=\frac{a+b+c}{2}r=pr$
$S=\frac{abc}{4R}$
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
отсюда

$r^3R=\frac{S^3}{p^3}*\frac{abc}{4S}=\frac{S^2abc}{4p^3}$
$\frac{S^2}{4}=r3R\frac{p^3}{abc}$

Докажем что для любой стороны треугольника справедливо
полупериметр больше любой стороны
pa; pb; pc

pa; pb; pc

не ограничивая общности пусть
$a \leq b \leq c$
по неравенству треугольника

откуда

c+c

$a \leq b \leq c$
доказано

значит $\frac{p}{a}1$
$\frac{p}{b}1$
$\frac{p}{c}1$

а значит $\frac{S^2}{4}=r^3R*\frac{p^3}{abc}=\\\\r^3R*\frac{p}{a}*\frac{p}{b}*\frac{p}{c}r^3R$
что равносильно неравенству $S2\sqrt{r^3R}$
Доказано

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

natslig

25.01.2020 15:10

А=12 б=8 угол с=60 градусов найти неизвестные элементы треугольника в треугольнике авс ав=9 см угол в=45 градусов угол а=75 градусам укажите наибольшую сторону треугольника авс найдите...

Простоелена26

25.01.2020 15:10

Какое уз следующих утверждений верно? если катеты прямоугольного треугольника равны 5и12,то его гипотенуза равна 13 треугольник авс у которого ав=5 вс=6 ас=7 является остроугольным...

KVika65

25.01.2020 15:10

Периметр трикутника = 72 см.треба знайти його сторони якщо сторони подібного йому трикутника = 7,8,9 см....

Lisa112007

29.10.2020 13:18

Отрезки ав и cd пересекаются в точке - о так, что угол асо=углу bdo. ao/ob=2/3. найти периметр треуг. асо если периметр треуг. воd=21см....

maga050508

05.08.2022 03:23

Впрямоугольнике abcd - биссектриса угла а пересекает вс в точке к. найти ак, если ad = 11, периметр abcd = 38...

yurka1973

05.08.2022 03:23

Найти площадь кругового сектора если его радиус равен 8 см и длина дуги равно 14 см...

dol2711

14.01.2021 01:51

4. Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см. Якому найбільшому ціломучислу сантиметрів може дорівнювати третя сторона?А. 12 см Б.11 см В. 10 см...

1234567891yyttgg

13.06.2021 01:16

В равнобедренном треугольнике DEF известно, что ∠E=66°. Найди величину внешнего угла при вершине F....

andreevaangel578976

23.05.2023 21:43

5. Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см і 9 см. Знайдітьйого периметр.А 18 см Б. 17 см В. 22 см...

kuleminaIV

02.04.2023 12:06

|a+2b| якщо |a|=2 |b|=1 (a,b) =120 градусов |модуль| Заранее...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку