Обозначим О центр вписанной в треугольник окружности. Проведем из него радиусы в точки касания (вписанной окружностью) М - со стороной АВ, Р - со стороной ВС и - точно такой же радиус в точку касания с KL - пусть это точка N. Теперь - веселый трюк :))) Поскольку четырехугольник AKLC - вписанный, то сумма углов AKL и АСВ равна 180 градусов. Равссмотрим теперь четырехугольник MKNO. В нем 2 угла прямые :), поэтому сумма углов MON и AKL тоже 180 градусов. Поэтому угол MON равен углу АСВ :).Но это - еще не всё :)четырехугольник KMON очевидно симметричен относительно КО. Поэтому угол КОN равен С/2 (С - угол АВС). Отсюда KN = r*tg(C/2); r - вписанной окружности :)Совершенно так же показывается, что угол LON равен А/2, где А - угол ВАС, и NL = r*tg(A/2);Таким образом, KL = r*(tg(C/2) + tg(A/2)),где А и С, а также r - это углы и радиус вписанной окружности в треугольнике АВС, у которого известны все стороны (7,9,10) :))) остается просто вычислить эти величины :))Но есть еще один - не слишком важный, но приятный - трюк:)) Дело в том, что АС = r*(1/tg(C/2) + 1/tg(A/2)) = KL/(tg(A/2)*tg(C/2); ПоэтомуKL = AC*tg(A/2)*tg(C/2); так проще считать :))Ну, меленькая пауза на расчеты (красоты наверняка закончились). Воспользуемся формулой tg(A/2) = корень((1-cosA)/(1+cosA)) и вычислим cosA из теоремы косинусов - напротив угла А лежит сторона ВС = 9, имеем9^2 = 10^2 + 7^2 - 2*10*7*cosA; cosA = (10^2 + 7^2 - 9^2)/(2*7*10);(1-cosA)/(1+cosA) = (2*7*10 - (10^2 + 7^2 - 9^2))/(2*7*10 + (10^2 + 7^2 - 9^2)) = 9/26;tg(A/2) = корень(9/26);Аналогично для угла С tg(С/2) = корень((1-cosС)/(1+cosС));7^2 = 10^2 + 9^2 - 2*9*10*cosC; cosC = (10^2 - 7^2 + 9^2)/(2*9*10);(1-cosC)/(1+cosC) = (2*9*10 - (10^2 - 7^2 + 9^2))/(2*9*10 + (10^2 - 7^2 + 9^2)) = 6/39;tg(С/2) = корень(6/39);KL = 10*корень(9/26)*корень(6/39) = 30/13; надо же, корни все пропали :))) А пропали они - потому что надо сначала умом работать, а потом другими частями тела. Продолжив игру с углами, можно легко обнаружить, что угол BLK = A, а угол BKL = C. В самом деле, мы уже показали, что (из-за того, что АСKL - вписанный четырехугольник) угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. (По-моему тут решение получить можно проще.)Для начала вычислим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z -отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.x + y = 7;y + z = 10;x + z = 9;y - x = 1; 2*y = 8; y = 4; x = 3; z = 6; нам понадобится x.Опять веселые трюки :))Периметр треугольника BKL равен 2*x = 6;(а вот сами докажите :) ну, ладно, подскажу - KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*x) Из того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/10; BK = KL*9/10, периметр равен KL*26/10; Поэтому KL*26/10 = 6; KL = 30/13; :
х-у+3 = 0 х-у = -3
х+у-9 = 0 х+у = 9
2х = 6 х₁ = 6 / 2 = 3 у₁ = 9-х = 9-3 = 6.
Аналогично находятся общие точки прямых и окружности:
(х-3)² + (у-2)² = 8
х-у+3 = 0 у = х + 3
(х-3)² + (х+3-2)² = 8 (х-3)² + (х+1)² = 8
х²-6х+9+х²+2х+1-8 = 0
2х²-4х+2 = 0
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-4)^2-4*2*2=16-4*2*2=16-8*2=16-16=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:x₂=-(-4/(2*2))=-(-4/4)=-(-1)=1. у₂ = 1 + 3 = 4.
Третья система уравнений:
(х-3)² + (у-2)² = 8
х+у-9= 0 у =-х + 9.
Аналогично получаем третью точку: х₃ = 5 у₃ = 4.