Достаточно заметить, что 5^2 + 12^2 = 13^2, то есть, треугольник является прямоугольным.
Тока О лежит на гипотенузе.
Вершина при прямом угле, точка О и точки касания окружности и катетов образуют квадрат (так как касательная должна быть перпендикулярна отрезку из центра окружности, проведённому к точке касания).
Сторона этого квадрата и будет радиусом окружности. Обозначим длину этой стороны за x. Расстояния от точки О до концов гипотенузы обозначим за y и z.
Тогда для двух маленьких треугольников, получившихся при проведении радиусов к точкам касания, можно записать:
(5-x)^2 + x^2 = y^2 - по теореме Пифагора
(12-x)^2 + x^2 = z^2 - по теоерме Пифагора
y+z = 13 - так как y и z вместе дают гипотенузу
Решим полученную систему уравнений:
1) заменим z на y-13 и исключим 3-е уравнение:
(5-x)^2 + x^2 = y^2
(12-x)^2 + x^2 = (13-y)^2
2) раскроем скобки и приведём подобные:
25 - 10x + 2x^2 = y^2
- 24x + 2x^2 = 25 - 26y + y^2
3) вычтем второе уравнение из первого и приведём подобные:
25 + 14x = 26y - 25
4) Выражаем y:
50 + 14x = 26y
y = (50 + 14x)/26
5) Подставляем полученное выражение для y в уравнение 25 - 10x + 2x^2 = y^2:
Объяснение: Через две пересекающиеся прямые AC и BD проведём плоскость АВСD. Четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, так как две пересекающиеся прямые АС и BD определяют единственную плоскость. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны⇒ АВ ║CD. Тогда треугольникм АКВ и CKD подобны по двум углам (имеем даже три равных угла - <CKD=<AKB как вертикальные, а <BAC(BAK)=<ACD(KCD) и <ABD(ABK)=<BDC(KDC) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущих АС и BD соответственно). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=1/2. Из подобия имеем: KB/KD=1/2 => KD=KB*2 = 10см.
Достаточно заметить, что 5^2 + 12^2 = 13^2, то есть, треугольник является прямоугольным.
Тока О лежит на гипотенузе.
Вершина при прямом угле, точка О и точки касания окружности и катетов образуют квадрат (так как касательная должна быть перпендикулярна отрезку из центра окружности, проведённому к точке касания).
Сторона этого квадрата и будет радиусом окружности. Обозначим длину этой стороны за x. Расстояния от точки О до концов гипотенузы обозначим за y и z.
Тогда для двух маленьких треугольников, получившихся при проведении радиусов к точкам касания, можно записать:
(5-x)^2 + x^2 = y^2 - по теореме Пифагора
(12-x)^2 + x^2 = z^2 - по теоерме Пифагора
y+z = 13 - так как y и z вместе дают гипотенузу
Решим полученную систему уравнений:
1) заменим z на y-13 и исключим 3-е уравнение:
(5-x)^2 + x^2 = y^2
(12-x)^2 + x^2 = (13-y)^2
2) раскроем скобки и приведём подобные:
25 - 10x + 2x^2 = y^2
- 24x + 2x^2 = 25 - 26y + y^2
3) вычтем второе уравнение из первого и приведём подобные:
25 + 14x = 26y - 25
4) Выражаем y:
50 + 14x = 26y
y = (50 + 14x)/26
5) Подставляем полученное выражение для y в уравнение 25 - 10x + 2x^2 = y^2:
25 - 10x + 2x^2 = ((50 + 14x)/26)^2
25 - 10x + 2x^2 = (50 + 14x)^2 / 676
16900 - 6760x + 1352x^2 = (50 + 14x)^2 = 2500 + 1400x + 196x^2
1156x^2 - 8160x + 14400 = 0
289x^2 - 2040x + 3600 = 0
(17x)^2 - 2*17*60x + 60^2 = 0
(17x - 60)^2 = 0
17x - 60 = 0
x = 60/17
ответ: 60/17
Объяснение: Через две пересекающиеся прямые AC и BD проведём плоскость АВСD. Четырёхугольник ABCD лежит в одной плоскости, так как две пересекающиеся прямые АС и BD определяют единственную плоскость. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны⇒ АВ ║CD. Тогда треугольникм АКВ и CKD подобны по двум углам (имеем даже три равных угла - <CKD=<AKB как вертикальные, а <BAC(BAK)=<ACD(KCD) и <ABD(ABK)=<BDC(KDC) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущих АС и BD соответственно). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=1/2. Из подобия имеем: KB/KD=1/2 => KD=KB*2 = 10см.
ответ: KD=10см.