О 12
1. Діалекі варееrама Авср перетинаються в точці О.
Buatan pino mepple puxywis BOC I COD.
еке AB 9 см, AD - 14 см.
s. На руку и свежо паралелограми. Визначте, не
коен міжна, на яких ресуках (as) величини
хуі або дожи віків означено неправильно слов
мен кісідео в стенетрах).
18. Бактриси жута с і Даралелограма ABCD перетина
нея в more О. Зlim uglas Co, ако CD - 10 см
3. Біоенен кута Арвелаrреn ABCD еретине сторону
С у точці К. Вк - 4 см і кс -3 см. Заліть сторон
1) Пусть точка A - произвольная точка окружности. AC и BD - две взаимно перпендикулярные хорды, пересекающиеся в заданной точке P. Середины сторон E, F, G, H четырехугольника ABCD все принадлежат искомому множеству.
2) EFGH - прямоугольник, поскольку EF II AC; FG II BD; GH II AC; EH II BD; как средние линии соответствующих треугольников (к примеру, EF - средняя линия треугольника ABC). Поэтому EG = FH; и эти два отрезка делятся пополам в точке их пересечения.
3) Ясно, что (к примеру) OG перпендикулярно CD; поскольку G - середина хорды в окружности с центром O.
С другой стороны, в прямоугольном треугольнике APB PE - медиана, поэтому PE = AE; и следовательно, ∠BAP = ∠EPA;
Если продлить EP за точку P до пересечения с CD в точке K, то
∠CPK = ∠EPA = ∠BAP; кроме того, ∠ABD = ∠ACD;
таким образом, у треугольников ABP и CPK по два равных угла. Поэтому равны и углы ∠BPA = ∠CKP; то есть EP перпендикулярно CD; следовательно EP II OG; (вот для чего все городилось :))
Очевидно, что точно также можно показать, что OE II GP; (обе прямые перпендикулярны AB)
Поэтому OEPG - параллелограмм, и его диагонали EG и PO делятся точкой пересечения пополам.
4) Собирая всё, можно заключить, что независимо от положения точки A диагонали прямоугольника EFGH пересекаются в середине отрезка OP.
5) На этом "чисто геометрическая" часть заканчивается, и наступает короткое вычислительное заключение.
Ясно, что EF = AC/2; FG = BD/2; (если кто уже забыл, напомню - как средние линии).
С другой стороны, если соединить центр O с M - серединой AC и N - серединой BD, то получится прямоугольник OMPN; и
OM^2 + ON^2 = OP^2;
при этом
OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - EF^2; (AM = AC/2 = EF)
ON^2 = OD^2 - ND^2 = R^2 - FG^2;
если это сложить, получится
OP^2 = 2*R^2 - (EF^2 + FG^2);
или EG^2 = 2*R^2 - OP^2 = 2*R^2 - d^2; (d = OP)
то есть длина диагонали четырехугольника EFGH не зависит от положения точки A. Все середины хорд (вообще все, при любом положении точки A) равноудалены от точки Q - середины OP.
6) То есть искомое множество - окружность с центром в середине OP и ДИАМЕТРОМ D^2 = 2*R^2 - d^2;
7) Для проверки можно взять случай совпадения O и P, тогда все хорды - стороны вписанных квадратов, а нужное множество - вписанная в эти квадраты со стороной D = R√2; окружность, диаметр которой равен стороне квадрата.
1. Равнобедренный треугольник - треугольник, у которо две стороны равны.
У такого треугольника углы при основании равны.
Биссектриса угла - это луч, делящий данный угол пополам.
Построение биссектрисы угла: 1) берем произвольный раствор циркуля и описываем дугу с центром в вершине угла так, чтобы она пересекала стороны угла
2) этим же раствором проводим дуги с вершиной в точках пересечения исходной дуги со сторонами. Через точку, где эти две новые дуги пересеклись, проводим прямую, которая прохдит и через вершину угла. Полученная прямая и будет биссектрисой угла.
Пусть меньший смежный угол равен х. Тогда другой будет равен 5х. По теореме о сумме смежных углов, получаем:
.
Мы нашли меньший угол. Теперь найдем больший:
ответ: 30, 150.