Вариант решения.
Пусть в пирамиде ОАВС сторона АО=3, СО=4, ВО=12.
Для начала найдем длины сторон ∆ АВС.
По т. Пифагора АВ²=AO²+BO²=9+144=153
По т.Пифагора ВС²=ОС²+ОВ²=16+144=160
АС=√(АО²+ОС²)=√(9+16)=5
Обозначим середину АС - Н; ОВ =К; АО - М,; ВС - Р; ОС - Т; АВ -Е.
Расстояние между серединами АС и ОВ - медиана НК в ∆ ОНВ.
ОН- медиана прямоугольного АОС и равна АС:2=2,5
Формула медианы треугольника
М=0,5•√(2a²+2b²-c²), где а. b и с - стороны, причем с - сторона, к которой проведена медиана.
Тогдв М²=0,25•((2a²+2b²-c²) ⇒
ВН²=0,25•(2•AB²+2•BC²-AC²)=0,25•(2•160+2•153-25)=0,25•601
НК=0,5•√(2•OH*+2*BH*-OB*)=0,5√(12,5+0,5•601-144)=0,5•13=6,5
Аналогично вычисляются сначала медианы АР и ОР из ∆ АВС и ∆ СОВ, затем МР=6,5 из ∆ АРО и медианы АТ и ВТ из ∆ АОС и ∆АОВ, затем ТЕ=6,5 из ∆ АТВ.
Сумма найденных расстояний 3•6,5=19,5
DABC пирамида ;
ΔABC и ΔDAB равносторонние ;
AC= BC =AB = DA = DB =√(√15 -√3 ) ;
(DAB) ⊥ (ABC) .
-------------------------
S(бок) - ?
S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC).
(DAB) ⊥ (ABC) ⇒CH ⊥AB , DH ⊥ AB и ∠CHD =90°.
ΔABC =ΔABD
AH = BH =a/2 ; CH =DH =√(a² -(a/2)² ) =√(a² -a²/4 ) =(a√3) /2 .
По теореме Пифагора из ΔCHD :
CD =√(CH² +DH²) =√(2CH²)= CH√2 =(a√3) /2 *√2 =(a√6) /2 .
ΔDAC= ΔDBC_равнобедренные .
Вычислим площадь треугольника DAC. Проведем высоту AM : AM ⊥ DC
Эта высота одновременно и медиана DM =CM =CD/2 = (a√6) /4.
Из ΔCAM :
AM =√(AC² - CM²) = √(a² - 6a² /16) =(a√10) /4.
S(ΔDAC) =CD*AM /2 = CM*AM = (a√6) /4 *(a√10) /4 =a²√(60)/16 =(a²√15)/8.
S(бок) = S(ΔDAB) +S(ΔDAC)+S(ΔDBC) = AB*DH /2 +2S(ΔDAC) =
(a²√3)/4 +(a²√15)/4 =a² (√5+1)*(√3)/ 4 =(√(√15 -√3) )² * (√5+1)*(√3)/ 4=
(√15 -√3) * (√5+1)*(√3)/ 4 = √3(√5-1)(√5+1)*√3 / 4 =3*(5-1)/4 = 3.
ответ : 3 ед.площади .
.
Вариант решения.
Пусть в пирамиде ОАВС сторона АО=3, СО=4, ВО=12.
Для начала найдем длины сторон ∆ АВС.
По т. Пифагора АВ²=AO²+BO²=9+144=153
По т.Пифагора ВС²=ОС²+ОВ²=16+144=160
АС=√(АО²+ОС²)=√(9+16)=5
Обозначим середину АС - Н; ОВ =К; АО - М,; ВС - Р; ОС - Т; АВ -Е.
Расстояние между серединами АС и ОВ - медиана НК в ∆ ОНВ.
ОН- медиана прямоугольного АОС и равна АС:2=2,5
Формула медианы треугольника
М=0,5•√(2a²+2b²-c²), где а. b и с - стороны, причем с - сторона, к которой проведена медиана.
Тогдв М²=0,25•((2a²+2b²-c²) ⇒
ВН²=0,25•(2•AB²+2•BC²-AC²)=0,25•(2•160+2•153-25)=0,25•601
НК=0,5•√(2•OH*+2*BH*-OB*)=0,5√(12,5+0,5•601-144)=0,5•13=6,5
Аналогично вычисляются сначала медианы АР и ОР из ∆ АВС и ∆ СОВ, затем МР=6,5 из ∆ АРО и медианы АТ и ВТ из ∆ АОС и ∆АОВ, затем ТЕ=6,5 из ∆ АТВ.
Сумма найденных расстояний 3•6,5=19,5