AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:
Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:
AB/AC=BD/DC. (1)
Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:
AC/BC=AD/BD. (2)
Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:
AB/BC=AD/DC. (3)
Эти отношения равны между собой (дано).
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).
Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса
угла.
Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то
они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений
(1), (2) и (3):
AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое
и с другими биссектрисами.
Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.
Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.
Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.
Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.
А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,
но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.
То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в
плоскости BMD.
Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,
DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).
Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:
Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно
пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.
Проведём сечение пирамиды через ось и боковое ребро SC. Середина ребра SC это точка Е. Пересечение перпендикуляра к этому ребру через точку Е с основанием это точка К, находящаяся на высоте основания СД. Получим прямоугольный треугольник ЕКС, в котором известна сторона ЕС = (1/2) SC = (1/2)*10 = 5. В другом треугольнике SOC сторона ОС равна (2/3) высоты основания. Для правильного треугольника АВС этот отрезок равен (2/3)*12*cos30 = (2/3)*12*(√3/2) = 4√3. Косинус угла С равен ОС/SC = 4√3/10 = 2√3/5.
Теперь можно определить гипотенузу СК в треугольнике ЕКС:
CК = ЕС/cosC = 5/(2√3/5) = 25/(2√3).
Так как СК лежит в плоскости основания на его высоте СД, то равные отрезки СР и СМ равны:
СР = СМ = СК / cos 30 = 25/(2√3) / (√3/2) = 25/3 = 8(1/3).
В плоскости боковой грани ASC линией пересечения её с заданной секущей плоскостью будет отрезок ЕМ. Аналогично в плоскости грани ВSC это линия ЕР.
Длину этих равных отрезков (они являются боковыми сторонами в треугольнике РЕМ, который и есть фигурой пересечения пирамиды с заданной плоскостью), находим по теореме косинусов по двум сторонам СЕ и СМ и косинусу угла между ними.
Косинус угла α при основании боковой грани равен 6/10 = 3/5.
Тогда ЕМ = ЕР = √(ЕС² + СМ² - 2*ЕС*СМ*cos α) =
√(5² + (25/3)² - 2*5*(25/3)*(3/5)) =
= √((25*9 + (625/9) - 9*50)/9) = √400 / 3 = 20/3.
Отрезок РМ находим из пропорции подобных треугольников САВ и СРМ:
РМ = СМ = 25/3 = 8(1/3).
ответ: Периметр треугольника, образованного сечением пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC в его середине, равен:
Нам даны соотношения сторон тетраэдра:
AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:
Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:
AB/AC=BD/DC. (1)
Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:
AC/BC=AD/BD. (2)
Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:
AB/BC=AD/DC. (3)
Эти отношения равны между собой (дано).
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).
Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса
угла.
Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то
они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений
(1), (2) и (3):
AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое
и с другими биссектрисами.
Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.
Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.
Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.
Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.
А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,
но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.
То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в
плоскости BMD.
Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,
DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).
Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:
Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно
пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Проведём сечение пирамиды через ось и боковое ребро SC.
Середина ребра SC это точка Е. Пересечение перпендикуляра к этому ребру через точку Е с основанием это точка К, находящаяся на высоте основания СД. Получим прямоугольный треугольник ЕКС, в котором известна сторона ЕС = (1/2) SC = (1/2)*10 = 5.
В другом треугольнике SOC сторона ОС равна (2/3) высоты основания. Для правильного треугольника АВС этот отрезок равен (2/3)*12*cos30 = (2/3)*12*(√3/2) = 4√3.
Косинус угла С равен ОС/SC = 4√3/10 = 2√3/5.
Теперь можно определить гипотенузу СК в треугольнике ЕКС:
CК = ЕС/cosC = 5/(2√3/5) = 25/(2√3).
Так как СК лежит в плоскости основания на его высоте СД, то равные отрезки СР и СМ равны:
СР = СМ = СК / cos 30 = 25/(2√3) / (√3/2) = 25/3 = 8(1/3).
В плоскости боковой грани ASC линией пересечения её с заданной секущей плоскостью будет отрезок ЕМ. Аналогично в плоскости грани ВSC это линия ЕР.
Длину этих равных отрезков (они являются боковыми сторонами в треугольнике РЕМ, который и есть фигурой пересечения пирамиды с заданной плоскостью), находим по теореме косинусов по двум сторонам СЕ и СМ и косинусу угла между ними.
Косинус угла α при основании боковой грани равен 6/10 = 3/5.
Тогда ЕМ = ЕР = √(ЕС² + СМ² - 2*ЕС*СМ*cos α) =
√(5² + (25/3)² - 2*5*(25/3)*(3/5)) =
= √((25*9 + (625/9) - 9*50)/9) = √400 / 3 = 20/3.
Отрезок РМ находим из пропорции подобных треугольников САВ и СРМ:
РМ = СМ = 25/3 = 8(1/3).
ответ: Периметр треугольника, образованного сечением пирамиды плоскостью, перпендикулярной ребру SC в его середине, равен:
Р = (25/3) + 2*(20/3) = (25 + 40) / 3 = 65/3 = 21(2/3).