Доказать, что АДОЕ - ромб. В тр-ках ДАО и ЕАО АО - общая сторона, нужно доказать, что они равнобедренные. Опустим высоты ОК и ОМ на стороны АВ и АС соответственно. Высоты равны радиусу описанной окружности. В тр-ках АКО и АМО КО=МО, АО - общая сторона и оба прямоугольные, значит они равны , значит ∠КАО=∠МАО ⇒ ∠ДАО=∠ЕАО. Так как ДО║АЕ, а АО - секущая, то ∠ДАО=∠АОЕ и ∠ЕАО=∠ДОА, значит ∠ДАО=∠ДОА и ∠ЕАО=∠ЕОА, следовательно тр-ки АДО и ЕАО равнобедренные и равны (АО - общая, см. выше). Вывод: АД=ДО=ОЕ=ЕА. Доказано.
Найдем площадь треугольника АВD по Герону: Sabd=√[p(p-a)(p-b)(p-c). р=(15+13+4)/2=16, а S=√(16*3*1*12=24. Тогда высота треугольника AN, опущенная из A на сторону BD равна: AN=2*S/BD = 48/4=12. Высота в подобных треугольниках ABD и AEF с коэффициентом k=1/2 (так как EF- средняя линия треугольника ABD) также делится пополам. Значит расстояние ОТ (перпендикуляр) между параллельными прямыми EF и BD равно 6. Тогда в прямоугольном треугольнике OTJ по Пифагору JT=√(OT²+JO²)=10. Это высота параллелограмма EGPF, а его площадь Segpf=2*10=20. EF=GP=2 (средние линии треугольников АВD и BSD соответственно). В подобных треугольниках ASC и HQC (HQ параллельна AS): HC=(3/4)*AC (так как АН=(1/2)*АО). HC/AC=HQ/AS=3/4. HQ=(3/4)*AS EG=(1/2)*AS (средняя линия треугольника АSB). НJ=EG=FP=(1/2)*AS. Тогда HJ/HQ=((1/2)*AS)/((3/4)*AS) = 2/3. Опустим из точки Q перпендикуляр QR на диагональ АС и проведем прямую RK параллельно ОТ. Из подобия НQR и HJO: HO/HR=HJ/HQ=2/3. Треугольники НRK и НОТ подобны и OT/RK=HO/HR=2/3. Отсюда RK= OT*HR/HO=6*3/2=9. Также из подобия треугольников HQK и HJT имеем: QK/JT=HR/HO=3/2. QK=HR*JT/HO= 3*10/2= 15. Тогда высота треугольника GQP равна h=QK-JT=15-10=5. Sgqp=(1/2)*GP*h=5. S сечения= Sпараллелограмма+Sтреугольника = 20+5=25 ед². ответ: площадь сечения равна 25 ед².
В тр-ках ДАО и ЕАО АО - общая сторона, нужно доказать, что они равнобедренные.
Опустим высоты ОК и ОМ на стороны АВ и АС соответственно. Высоты равны радиусу описанной окружности. В тр-ках АКО и АМО КО=МО, АО - общая сторона и оба прямоугольные, значит они равны , значит ∠КАО=∠МАО ⇒ ∠ДАО=∠ЕАО.
Так как ДО║АЕ, а АО - секущая, то ∠ДАО=∠АОЕ и ∠ЕАО=∠ДОА, значит ∠ДАО=∠ДОА и ∠ЕАО=∠ЕОА, следовательно тр-ки АДО и ЕАО равнобедренные и равны (АО - общая, см. выше).
Вывод: АД=ДО=ОЕ=ЕА.
Доказано.
Sabd=√[p(p-a)(p-b)(p-c). р=(15+13+4)/2=16, а S=√(16*3*1*12=24.
Тогда высота треугольника AN, опущенная из A на сторону BD равна:
AN=2*S/BD = 48/4=12.
Высота в подобных треугольниках ABD и AEF с коэффициентом k=1/2 (так как EF- средняя линия треугольника ABD) также делится пополам.
Значит расстояние ОТ (перпендикуляр) между параллельными прямыми EF и BD равно 6.
Тогда в прямоугольном треугольнике OTJ по Пифагору
JT=√(OT²+JO²)=10.
Это высота параллелограмма EGPF, а его площадь Segpf=2*10=20.
EF=GP=2 (средние линии треугольников АВD и BSD соответственно).
В подобных треугольниках ASC и HQC (HQ параллельна AS):
HC=(3/4)*AC (так как АН=(1/2)*АО).
HC/AC=HQ/AS=3/4.
HQ=(3/4)*AS
EG=(1/2)*AS (средняя линия треугольника АSB).
НJ=EG=FP=(1/2)*AS. Тогда
HJ/HQ=((1/2)*AS)/((3/4)*AS) = 2/3.
Опустим из точки Q перпендикуляр QR на диагональ АС и
проведем прямую RK параллельно ОТ.
Из подобия НQR и HJO: HO/HR=HJ/HQ=2/3.
Треугольники НRK и НОТ подобны и OT/RK=HO/HR=2/3.
Отсюда RK= OT*HR/HO=6*3/2=9.
Также из подобия треугольников HQK и HJT имеем: QK/JT=HR/HO=3/2.
QK=HR*JT/HO= 3*10/2= 15.
Тогда высота треугольника GQP равна h=QK-JT=15-10=5.
Sgqp=(1/2)*GP*h=5.
S сечения= Sпараллелограмма+Sтреугольника = 20+5=25 ед².
ответ: площадь сечения равна 25 ед².